Скажем, у меня есть гильбертово пространство (либо конечномерный, либо со счетно-бесконечным базисом) с заданным гамильтонианом , представляющий некоторую квантовую систему. При каких условиях я могу разложить на компоненты тензорного произведения, т.е. найти гильбертовы пространства и такой, что
и гамильтонианы и такой, что
?
Идея состоит в том, чтобы выяснить, можно ли разделить квантовую систему на две невзаимодействующие подсистемы.
Для простых случаев, таких как попытка разложить четырехмерное гильбертово пространство на две системы кубитов, я могу написать уравнения для матричных элементов в терминах матричных элементов и в произвольной основе, чтобы увидеть, когда они разрешимы, но мне интересно, есть ли более общая теория для более крупных систем с некоторой физической интуицией за ней.
(Редактировать: я должен также указать, что выбор основы имеет значение при принятии решения о том, можете ли вы это сделать или нет, поэтому я предполагаю, что для того, чтобы этот вопрос был четко определен, вы должны предоставить некоторую дополнительную структуру. Например, как я понять это В этой статье обсуждается, какая структура необходима для факторизации гильбертова пространства в тензорные произведения, и предлагается выбрать набор подалгебр наблюдаемых, удовлетворяющих определенным аксиомам, чтобы определить независимую от базиса «структуру тензорного произведения») .
Мне показалось, что я наткнулся на статью, в которой обсуждается такая проблема, когда просматривал литературу в поисках информации по другой теме несколько месяцев назад, но, к сожалению, я не могу вспомнить достаточно информации о статье, которую я видел, чтобы найти ее снова или даже правильную. ключевые слова для поиска в случае, если «тензорная факторизация произведения» не является правильной терминологией для того, что я пытаюсь сделать.
Мне также было бы интересно узнать ответы на обобщения этого вопроса, для которых двум подсистемам разрешено взаимодействовать друг с другом, но только слабо, с чем-то вроде
для взаимодействия это "маленький" в каком-то смысле.
Это возможно, если спектр гамильтониана (включая кратности собственных значений) можно записать в виде суммы двух других спектров. Так что это не зависит от базы.
Ответ jjcale дает правильный ответ. Но позвольте мне немного уточнить. Вы в основном спросили:
Учитывая абстрактный гамильтониан, когда мы можем факторизовать гильбертово пространство так, чтобы гамильтониан не взаимодействовал по отношению к этому выбору степеней свободы?
Это интересный вопрос, потому что мы спрашиваем, какие гамильтонианы имеют особенно простое описание в терминах невзаимодействующих частей.
Вы можете явно охарактеризовать гамильтонианы, где это возможно, указав необходимые и достаточные условия на их спектры: это то, что ответил jjcale. Конечно, этим свойством будут обладать только очень специальные гамильтонианы.
Между тем, вы можете задать более общий вопрос:
Учитывая абстрактный гамильтониан, когда мы можем факторизовать гильбертово пространство так, чтобы гамильтониан локально взаимодействовал относительно этого выбора степеней свободы?
Ответ на этот более общий вопрос снова заключается в том, что этим свойством обладают только специальные гамильтонианы. То есть только очень специальные гамильтонианы допускают факторизацию гильбертова пространства таким образом, что гамильтониан выглядит как сумма членов локального взаимодействия. Тогда возникает более интересный вопрос: когда гамильтониан допускает такую факторизацию, является ли он уникальным? Ответ, по сути, «да, большую часть времени».
Да, вот делаю заглушку: мы с соавторами обращаемся с этим вопросом в " Населенный пункт со Спектрума ".
Поэтому, когда у вас есть абстрактный гамильтониан, который допускает тензорную факторизацию гильбертова пространства так, что гамильтониан выглядит локальным, эта факторизация обычно уникальна и дает вам что-то вроде предпочтительного базиса, где гамильтониан является локальным.
Никто-Не-Знает-Я-Собака