Состояния тензорного произведения в QM

Question

Состояния тензорного произведения в QM

Откровенный

В КМ мы используем тензорные произведения для построения векторного пространства состояний многочастичной системы, но эта конструкция, похоже, не имеет аналога в классической механике. В QM кажется, что требуется возможность представлять запутанные состояния.

Считается ли это «постулатом» о том, как представлять состояния многочастичных систем в КМ? Верно ли, что у него нет эквивалента в классической механике, где мы довольствуемся прямыми суммами векторных пространств?

Ответы (3)

Состояния тензорного произведения в QM

Кнчжоу · Answer 1

Да, это один из постулатов квантовой механики. Например, см. раздел 2.2 Нильсена и Чуанга, Квантовая информация и квантовые вычисления , где это постулат 4.

Постулат тензорного произведения вовсе не противоречит классической механике. Рассмотрим две частицы на $\mathbb{R}^3$ . В квантовой механике пространство состояний для обоих

ЧАС "=" л^{2} (р^{3}) \otimes л^{2} (р^{3}) ≅ л^{2} (р^{6}) .

$\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R}^3) \otimes L^2(\mathbb{R}^3) \cong L^2(\mathbb{R}^6).$ Когда мы берем классический предел, гильбертово пространство

L^{2} (R^{n})

$L^2(\mathbb{R}^n)$ дает пространство конфигурации

R^{n}

$\mathbb{R}^n$ , и

р^{3} \oplus р^{3} "=" р^{6} .

$\mathbb{R}^3 \oplus \mathbb{R}^3 = \mathbb{R}^6.$ То есть правило объединения конфигурационных пространств в классической механике является лишь пределом квантового правила, оно не выбирается самостоятельно.

Честно говоря, я бы не оценил это как постулат. Если конфигурационное пространство двух данных частиц равно $C=C_1\times C_2$ тогда соответствующее пространство состояний может быть вычислено как $L^2 (C) = L^2(C_1\times C_2) = L^2(C_1)\otimes L^2(C_2)$ . Нет необходимости апеллировать и к какому-либо классическому пределу — это просто правильное гильбертово пространство, соответствующее обычному классическому (комбинированному) конфигурационному пространству.
@EmilioPisanty Конечно, я полагаю, это может быть в любом случае!
@EmilioPisanty - Под «постулатом» я имел в виду, что кто-то должен решить, как правильно объединить пространства отдельных частиц, чтобы получить правильное пространство для объединенной системы. Если бы нам не нужно было учитывать запутанные состояния (если бы этого явления не существовало), могли бы мы выбрать представление пространства объединенной системы с помощью $\oplus$ а не $\otimes$ ?
@Frank Это несовместимо с предыдущими постулатами. Если вы соедините «гильбертово пространство $L^2$ над классическим конфигурационным пространством» и «конфигурационное пространство двух систем с конфигурационными пространствами $C_1$ и $C_2$ является $C=C_1\times C_2$ , точно так же, как в классической физике» (само по себе совершенно бесспорное утверждение), то вы естественным образом получаете пространство состояний тензорного произведения (как теорему) и, естественно, получаете запутанность. Если вы настаиваете на векторной сумме пространств состояний, вы получить, что, например, пространство состояний частицы в 2D не $L^2$ над $\mathbb R^2$ .
Итак, похоже, что запутанность «происходит» из первого постулата, который вы даете («Гильбертово пространство — это L2 над классическим конфигурационным пространством»), поскольку второй уже есть в классической физике, в которой нет запутанности. Первый постулат требует $\otimes$ для согласованности, и что заставляет существование запутанности?
Спасибо за ваш ответ и ссылку на Нильса и Чуанга! Этот вопрос тоже давно не дает мне покоя. Удивительно то, что большинство авторов КМ, перечисляющих «постулаты КМ», не включают его, в отличие от некоторых других.

свободный · Answer 2

Я думаю, что использование векторного пространства тензорного произведения, порожденного тензорным произведением пространств векторов состояния подсистем, является отдельным постулатом, добавленным к другим постулатам КМ.

PS: Например, я нашел это как отдельный постулат в: Valter Moretti, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics: Advanced Short Course, 2016. Автор также участвует в обмене физическими стеками.

PPS: здесь я нашел связанный с этим вопрос . Однако представляется неясным, утверждает ли ответ, что это постулат.

Я добавил ссылку на статью @Valter Moretti, где это указано как постулат QM.

Тим Круз · Answer 3

Основной постулат таков: описание системы есть множество амплитуд вероятностей для каждого возможного результата измерения системы.

Если классическая система состоит из двух подкомпонентов, каждый из которых может допускать N возможных результатов измерений, то мы можем описать систему с 2N значениями.

С другой стороны, если квантовая система состоит из двух подкомпонентов, каждый из которых может допустить N возможных результатов измерений, то нам потребуется N x N значений, по одному для каждой возможной комбинации результатов одиночной системы.

Представьте себе систему, состоящую из двух различимых шаров, каждый из которых красный, зеленый или синий. Мы могли бы, например, определить вектор состояния одного шара как эти амплитуды вероятности:

Красный = 0,70

Зеленый = 0,57

Синий = 0,41

так что вероятности (квадраты амплитуд вероятности) каждого цвета красного цвета, 0,5; зеленый, 0,33; синий, 0,17.

Для системы с двумя шарами классическое описание состояло бы просто из трех амплитуд для каждого шара.

Но в QM, чтобы указать состояние системы двух шаров, нам нужно указать значение для каждой из 3 x 3 = 9 комбинаций результатов, например:

красный, красный = 0,33

зеленый, зеленый = 0,33

синий, синий = 0,33

красный, зеленый = 0,33

зеленый, красный = 0,33

красный, синий = 0,33

синий, красный = 0,33

зеленый, синий = 0,33

синий, зеленый = 0,33

Состояния тензорного произведения в QM

Откровенный

Ответы (3)

Кнчжоу

Эмилио Писанти

Кнчжоу

Откровенный

Эмилио Писанти

Откровенный

свободный

свободный

свободный

Тим Круз

Как интерпретация многих миров выглядит в скобках?

Когда можно разложить гильбертово пространство с заданным гамильтонианом на невзаимодействующие тензорные множители?

Запутанность в квантовой физике [дубликат]

Как тензорные произведения и прямые суммы вписываются в квантовую механику?

Могло ли определение результата эксперимента произойти до измерения?

Почему размерность множества разделимых состояний равна dimH1+dimH2dim⁡H1+dim⁡H2\dim\mathcal H_1+\dim\mathcal H_2?

Почему в определении состояния GHZ рассматривается только случай M>2M>2M>2?

Запутался или не запутался?

Означает ли корреляция результатов измерения, что состояние запутано?

Что такое квантовая запутанность? [закрыто]