Как теорема о работе-энергии связана с первым законом термодинамики?

Question

Как теорема о работе-энергии связана с первым законом термодинамики?

СалахКоза

Теорема об энергии работы утверждает, что чистая работа над частицей равна изменению кинетической энергии частицы:

{Вт}_{н е т} "=" Δ К

$W_{net}=\Delta K$

Мой первый вопрос заключается в том, применима ли эта формула (теорема о работе-энергии) только к жестким системам с одним телом, то есть применима ли она только к одной частице, которая не может быть деформирована? Для меня интуитивно понятно, что это должно применяться только к жестким системам с одним телом, потому что, если система не является жесткой системой с одним телом, то система будет иметь возможность хранить потенциальную энергию, и чистая работа, выполненная в системе, может привести к к увеличению потенциальной энергии системы, а не только к изменению кинетической энергии системы.

Мой второй вопрос основан на предположении, что теорема о работе и энергии на самом деле верна только для одночастичных жестких систем. Если это предположение верно, то первый закон термодинамики ( $\Delta U = Q + W$ ) просто более общая форма теоремы о работе-энергии, которую можно применить к любой системе независимо от количества частиц в системе и независимо от того, являются ли они деформируемыми?

Если первый закон является более общей формой теоремы о работе и энергии, то правильно ли я рассуждаю ниже? Предположим, у нас есть система из двух частиц, соединенных пружиной. Теперь предположим, что я приложил внешнюю силу ( $F_a$ ) по системе на расстоянии $\Delta x$ (скажем, я толкаю первую частицу внутрь по направлению ко второй частице, сжимая пружину, но также заставляя центр масс системы слегка перемещаться). Поскольку эта система не является одночастичной жесткой системой, мы не можем сказать, что $W_{net} = \Delta K$ потому что сжатие пружины означает, что работа также привела к увеличению потенциальной энергии. Но $\Delta U = Q+W$ все еще применяется. И в этом случае мы явно имеем $Q=0$ а также что $W_{net}=F_a \Delta x$ чтобы мы получили $\Delta U=F_a \Delta X$ . Теперь для нашей системы у нас есть это $\Delta U= \Delta V +\Delta K$ . Но мы не располагаем достаточной информацией, чтобы вычислить, какая часть работы ушла на увеличение потенциальной энергии или на увеличение кинетической энергии. Все, что мы знаем наверняка, это то, что изменение внутренней энергии равно чистой работе, совершенной системой. Это все правильно или я ошибаюсь?

Любая помощь по этому вопросу будет принята с благодарностью!

Ответы (2)

Как теорема о работе-энергии связана с первым законом термодинамики?

Ян Лалински · Answer 1

Ян Лалински

Теорема о работе (в классической механике) более общая, чем вы описываете, она применима к любой системе частиц, даже к деформируемым телам, взаимодействующим через мгновенные силы, при условии учета работы всех сил, включая работу внутренних сил. Мы можем сформулировать теорему так:

Сумма работы всех сил, внешних и внутренних, на систему многих частиц равна изменению ее кинетической энергии.

Если мы не учитываем работу внутренних сил, например, когда тело деформируемо, но игнорируем работу силы, действующую одной частью тела на другую часть, то теорема о работе-энергии не выполняется.

1-й закон термодинамики похож на теорему о работе-энергии, но не является «более общим». Это потому, что 1) речь идет о термодинамических системах, а не о механических системах; 2) относится к понятию внутренней энергии , которая не включает механическую кинетическую энергию, но включает механическую потенциальную энергию; 3) она говорит о внутренней энергии совсем другое, чем теорема о работе-энергии говорит о кинетической энергии. Мы можем сформулировать 1-й закон так:

Для любого тела существует функция внутренней энергии $U$ состояния равновесия $X$ который может измениться за счет теплопередачи $\Delta Q$ или рабочий перевод $\Delta W$ с окружающими органами; поскольку эффект теплопередачи может быть в равной степени достигнут за счет некоторого эквивалентного количества работы, мы используем одни и те же единицы измерения как для работы, так и для теплоты :

Δ U "=" Δ Вт + Δ Вопрос .

$\Delta U = \Delta W + \Delta Q.$ Обратите внимание, как закон вводит новую величину, внутреннюю энергию. Это сильно отличается от теоремы о работе-энергии, которая говорит только о том, насколько увеличивается кинетическая энергия в результате работы.

СалахКоза

(1/n) Спасибо за ответ! Не могли бы вы предоставить ссылку, чтобы я мог подробнее прочитать о теореме о работе и энергии, поскольку она относится к многочастичным системам? Потому что каждая ссылка, которую я нахожу, как и все мои учебники, говорят об этом исключительно применительно к отдельным частицам, которые, как мне кажется, и являются источником моего замешательства. Позвольте мне также попытаться объяснить, почему я думаю, что 1-й закон является более общей формой теоремы WE. Предположим, что у нас есть масса m, покоящаяся на земле, и мы предполагаем, что сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Пусть теперь масса m и земля будут системой.

СалахКоза

(2/n) Если я (окружение) приложу силу (

F_{a} = m g + F^{'}

$F_{a}=mg+F'$ ) на массу на 1 метр так, чтобы масса поднялась на 1 метр, чистая работа, выполненная системой, равна

W_{n e t} = m g + F^{'}

$W_{net}=mg+F'$ . Но ясно, что эта чистая работа не равна

Δ K_{s y s}

$\Delta K_{sys}$ . Итак, у нас есть это

W_{n e t} \neq Δ K

$W_{net} \neq \Delta K$ что противоречит теореме WE. Но по первому закону имеем, что

Δ U_{s y s} = Q + W

$\Delta U_{sys} =Q+W$ и в нашем случае Q=0, так что мы получаем

Δ U_{s y s} = m g + F^{'}

$\Delta U_{sys} =mg+F'$ . Теперь о нашей системе

Δ U_{s y s} = Δ K_{s y s} + Δ V_{s y s}

$\Delta U_{sys} = \Delta K_{sys} + \Delta V_{sys}$ . Но поскольку земля большая, мы получаем, что

Δ K_{s y s} = Δ K_{m}

$\Delta K_{sys}=\Delta K_{m}$ .

СалахКоза

(3/n) Теперь мы можем вычислить

Δ K_{m}

$\Delta K_m$ путем применения WE thm к одночастичной системе m, потому что WE thm применим к отдельным частицам. Делая это, мы получаем

W_{n e t, m} = F^{'}

$W_{net,m}=F'$ потому что надо вычесть работу силы тяжести. И так

Δ K_{m} = W_{n e t, m} = F^{'} = Δ K_{s y s}

$\Delta K_m = W_{net,m}=F' = \Delta K_{sys}$ . Таким образом, мы окончательно получаем, что

Δ U_{s y s} = m g + F^{'} = F^{'} + Δ V_{s y s} \Rightarrow Δ V_{s y s} = m g

$\Delta U_{sys}=mg+F'=F'+\Delta V_{sys} \Rightarrow \Delta V_{sys}=mg$ и все получается. Этот пример, по-видимому, показывает, что более специальный метод WE слишком узок, чтобы его можно было решить.

Δ V_{s y s}

$\Delta V_{sys}$ но 1-й закон, будучи более общим, легко использовался для решения

Δ V_{s}

$\Delta V_{s}$

Ян Лалински

Теорема работа-энергия плохо освещена в современных учебниках/в Интернете, вы должны обратиться к более старым/оригинальным источникам. См., например, Synge JL, Griffith BA: Principles of Mechanics (1949), раздел 5.2, часть «Принцип энергии». Файл Djvu для этой книги доступен в Интернете.

Ян Лалински

Ваш расчет мне не очень понятен. Теорема о работе-энергии не говорит о потенциальной энергии, только о кинетической энергии. Например, если тело поднимается очень медленно, а внешняя сила уравновешивает силу тяжести, теорема о работе и энергии предсказывает, что нулевая работа означает нулевое изменение кинетической энергии, что верно.

Клеонис · Answer 2

Вы говорите о сжатии пружины.

Процедура калибровки пружины следующая: вы сжимаете пружину и измеряете усилие, которое она оказывает на весь ход пружины. Это создает профиль сила-смещение. Чтобы найти потенциальную энергию, запасенную в пружине, для любого значения смещения, вы интегрируете силу по расстоянию, используя измеренный профиль. Эта процедура позволяет получить математическое выражение для потенциальной энергии, запасенной в пружине.

Теорема о работе-энергии устанавливает связь между силой, действующей на расстоянии, и изменением кинетической энергии.

\int_{с_{0}}^{с} Ф г с "=" \frac{1}{2} м в^{2} - \frac{1}{2} м в_{0}^{2} (1)

$\int_{s_0}^s F \ ds = \tfrac{1}{2}mv^2 - \tfrac{1}{2}mv_0^2 \qquad (1)$

Теорема о работе и энергии, как следует из названия, является теоремой, а не определением.

Для полноты вывод теоремы о работе-энергии

При выводе будут использоваться следующие два соотношения:

г с "=" в г т (11)

$ds = v \ dt \qquad (11)$

г в "=" \frac{г в}{г т} г т (12)

$dv = \frac{dv}{dt}dt \qquad (12)$

Интеграл ускорения от начальной точки $s_0$ до конечной точки $s$

\int_{с_{0}}^{с} а г с (13)

$\int_{s_0}^s a \ ds \qquad (13)$

Используйте (11), чтобы изменить дифференциал с ds на dt . Поскольку дифференциал изменяется, соответственно изменяются пределы.

\int_{т_{0}}^{т} а в г т (14)

$\int_{t_0}^t a \ v \ dt \qquad (14)$

Поменяй порядок и напиши ускорение $a$ как $\tfrac{dv}{dt}$

\int_{т_{0}}^{т} в \frac{г в}{г т} г т (15)

$\int_{t_0}^t v \ \frac{dv}{dt} \ dt \qquad (15)$

Используйте (12) для второго изменения дифференциала, снова соответственно изменяются пределы.

\int_{в_{0}}^{в} в г в (16)

$\int_{v_0}^v v \ dv \qquad (16)$

Собираем все вместе:

\int_{с_{0}}^{с} а г с "=" \frac{1}{2} в^{2} - \frac{1}{2} в_{0}^{2} (17)

$\int_{s_0}^s a \ ds = \tfrac{1}{2}v^2 - \tfrac{1}{2}v_0^2 \qquad (17)$

В сочетании с $F=ma$ дает теорему о работе-энергии

\int_{с_{0}}^{с} Ф г с "=" \frac{1}{2} м в^{2} - \frac{1}{2} м в_{0}^{2} (18)

$\int_{s_0}^s F \ ds = \tfrac{1}{2}mv^2 - \tfrac{1}{2}mv_0^2 \qquad (18)$

Так правильно ли утверждать, что теорема о работе-энергии применима только к жестким системам с одним телом? И тогда также правильно утверждать, что первый закон термодинамики является более общей формой теоремы о работе и энергии, которую мы можем использовать для многочастичных деформируемых систем для определения изменений энергии, связанных с работой?
@SalahTheGoat Нет никаких внутренних ограничений для механики одного тела. Результирующее движение любого тела, на которое действует множество сил, определяется векторной суммой действующих сил. Предполагается (а контрдоказательства неизвестны), что давление газа можно понять с точки зрения механики столкновений. С точки зрения статистической механики атомы, составляющие материю, не имеют стабильного способа хранения энергии. Название «термодинамика» используется для дисциплины, в которой физика не излагается в терминах движения атомов , так что в конце концов формулируется понятие внутренней энергии.

Как теорема о работе-энергии связана с первым законом термодинамики?

СалахКоза

Ответы (2)

Ян Лалински

СалахКоза

СалахКоза

СалахКоза

Ян Лалински

Ян Лалински

Клеонис

СалахКоза

Клеонис

Почему сила трения не действует на автомобиль?

Сравнение работы в термодинамике с работой в механике

Разве понятие работы определяется только в механике?

Требуется ли для остановки одного и того же велосипеда и водителя с одинаковой скоростью передним тормозом меньше энергии, чем задним тормозом?

Почему наклон на беговой дорожке сжигает калории быстрее?

Почему теорема о работе-энергии должна включать внутренние силы?

Работа, совершаемая над предметом при его подъеме

Какое значение имеет знак выполненной работы? Влияет ли это также на внутреннюю энергию?

Определение мощности

Если цилиндр скользит, что можно сказать о работе трения по нему?