Почему теорема о работе-энергии должна включать внутренние силы?

Это странный вопрос.

Законы Ньютона включают внутренние силы. Однако третий закон Ньютона компенсирует их общее влияние на центр масс . Но если вы хотите понять движения составных частей системы, вам нужно понять их внутренние силы.

Итак, давайте предположим, что у нас есть набор частиц$\{i\}$с массами$m_i$и (векторные) позиции$x_i$каждое чувство внешних сил$F_i$и внутренние силы$V_{ij} = -V_{ji}.$Обычно мы описываем их целиком как массу$M = \sum_i m_i$в положении центра масс$X = \sum_i \frac{m_i}M x_i.$Законы Ньютона гласят, что EOM для центра масс (с точками как производными по времени)

$$M \ddot X = \sum_i m_i \ddot x_i = \sum_{i}\left(F_i + \sum_j V_{ij}\right) = \sum_i F_i = F.$$ Здесь $F$является «действующей силой» на центр масс. Немного более подробно мы могли бы сформулировать эту отмену как «поскольку $V_{ij} = -V_{ji}$мы можем взять среднее между теми, чтобы найти $V_{ij} = (V_{ij} - V_{ji})/2,$тогда, когда мы вычисляем $\sum_{ij} V_{ij}$мы расширяем его до этих двух терминов, $\left(\sum_{ij} V_{ij} - \sum_{ji} V_{ji}\right)/2.$Во втором члене мы перемаркируем $i \leftrightarrow j$одновременно и находим $\sum_{ij} (V_{ij} - V_{ij})/2 = \sum_{ij} 0 = 0$напрямую.» Через пару абзацев я назову это «трюком с антисимметричной компенсацией».

Точно так же мы можем использовать обычный трюк с рабочей энергией и умножить обе части на$\dot X,$уступающий

$$\frac{dK}{dt} = \frac d{dt} \left( \frac 12 M \dot X ^2 \right) = F \dot X = P$$ где здесь $K$означает «кинетическую энергию центра масс» и $P$означает «мощность действующей силы на центр масс». Однако в системе есть сгусток кинетической энергии, который не виден на этой картинке! Самый простой способ подумать об этом — представить себе гироскоп, который вращается, но стоит на месте: вся эта вращательная кинетическая энергия игнорируется на этой картинке.

Если вместо этого нам нужна полная кинетическая энергия, то мы обнаружим, что это

$$T = \sum_i\frac 12 m_i \dot x_i^2 = \sum_i \left( F_i \dot x_i+ \sum_j V_{ij} \dot x_i \right)$$ The $V_{ij}$термины здесь не исчезают из-за трюка с антисимметричным аннулированием! Это потому, что вы получаете $\sum_{ij} V_{ij} (\dot x_i - \dot x_j) / 2$после перемаркировки, но нет гарантии, что $\dot x_i = \dot x_j.$

Я просто приведу пару примеров: случаи, когда очевидно, что внутренние силы изменяют состояние кинетической энергии всей системы.

---

• Рассмотрим систему из двух масс, покоящихся на горизонтальной поверхности без трения, между которыми находится легкая пружина, не связанная ни с одной из масс. В исходном состоянии пружина удерживается плотно свернутой стержнем и защелкой и постоянно прикреплена к одной из масс. Начальная кинетическая энергия и импульс равны нулю. Когда пружина освобождается, две массы отбрасываются (внутренними силами, которые совершают положительную суммарную работу) и раздвигаются. Импульс конечного состояния равен нулю, но кинетическая энергия (вся энергия) положительна.

• Рассмотрим тороидальную вращающуюся космическую станцию. Дайте ему два лифта для симметрии и пусть каждый одновременно поднимает массу.$m$от обода до ступицы. Вычислите изменение угловой кинетической энергии при этом и сравните с работой, совершаемой при подъеме тяжестей. Опять же, внутренние силы совершают положительную работу, что приводит к увеличению общей кинетической энергии.

---

Третий закон Ньютона говорит вам, что система сохраняет импульс , а не энергию. Отчасти это связано с тем, что кинетическая энергия является положительно определенной величиной.

---

Я улавливаю некоторые нападки на пользователей, которые интерпретируют теорему о работе-энергии как исключающую внутреннюю кинетическую энергию системы. Это не то правило, которое используют Гольдштейн или Марион и Торнтон.

В частности Гольдштейн пишет (в разделе 1.2 (о системах частиц) 2-го издания, стр. 9 в моем экземпляре)

Следовательно, совершенную работу все еще можно записать как разность конечной и начальной кинетической энергии.

$$W = T_2 - T_1$$ где $T$, полная кинетическая энергия системы , равна $$T = \frac{1}{2}\sum_i m_i v_i^2 \,.$$

Акцент здесь мой. Это определение ясно включает внутреннюю кинетическую энергию системы в теорему о работе-энергии, а это требует включения внутренней силы, как указано выше.

Я полагаю, что возможно, что в этом есть два лагеря (у меня нет ссылок, которые дают другую форму, поэтому я не могу сказать наверняка), но если это так, то профессора ОП явно в том же лагере, что и Гольдштейн и Марион и Торнтон. Другая интерпретация сталкивается с серьезными проблемами, как только вы разрешаете сворачиваться системам. В этом случае внешняя работа делится на поступательную и вращательную кинетическую энергию, поэтому мы должны включить в расчет внутренние движения, чтобы теорема о работе-энергии работала так, как рекламируется.