Как уравнения Максвелла могут описывать как фотоны, так и электроны/протоны?

Следующее не очень известно, но (модифицированные) уравнения Максвелла действительно могут описывать как электромагнитное поле, так и электроны.

@Quantumwhisp прокомментировал: «Уравнения Максвелла вообще не описывают заряженные частицы», а затем спросил: «Можете ли вы вывести силу Лоренца из уравнений Максвелла?»

Я не говорю, что эти комментарии неразумны, но, как ни удивительно, Дирак действительно вывел силу Лоренца из уравнений Максвелла (Proc. Roy. Soc. London A 209, 291 (1951)).

Я резюмировал вывод Дирака в другом месте следующим образом.

Дирак рассматривает следующие условия стационарности лагранжиана свободного электромагнитного поля при условии$A_\mu A^\mu=k^2$:

$$\begin{equation}\label{eq:pr1} \Box A_\mu-A^\nu_{,\nu\mu}=\lambda A_\mu, \end{equation}$$ где$A^\mu$- потенциал электромагнитного поля, а$\lambda$является множителем Лагранжа. Ограничение представляет собой нелинейное калибровочное условие. Можно предположить, что сохраняющийся ток в правой части уравнения создается частицами массой$m$, заряжать$e$, и импульс (не обобщенный импульс!)$p^\mu=\zeta A^\mu$, где$\zeta$является константой. Если эти частицы движутся в соответствии с уравнениями Лоренца $$\begin{equation}\label{eq:pr2} \frac{dp^\mu}{d\tau}=\frac{e}{m}F^{\mu\nu}p_\nu, \end{equation}$$ где$F^{\mu\nu}=A^{\nu,\mu}-A^{\mu,\nu}$электромагнитное поле, а$\tau$собственное время частицы ($(d\tau)^2=dx^\mu dx_\mu$), затем $$\begin{equation}\label{eq:pr3} \frac{dp^\mu}{d\tau}=p^{\mu,\nu}\frac{dx_\nu}{d\tau}=\frac{1}{m}p_\nu p^{\mu,\nu}=\frac{\zeta^2}{m}A_\nu A^{\mu,\nu}. \end{equation}$$ Из-за ограничения,$A_\nu A^{\nu,\mu}=0$, так $$\begin{equation}\label{eq:pr4} A_\nu A^{\mu,\nu}=-A_\nu F^{\mu\nu}=-\frac{1}{\zeta}F^{\mu\nu}p_\nu. \end{equation}$$ Следовательно, последние три уравнения совместны, если$\zeta=-e$, а потом$p_\mu p^\mu=m^2$подразумевает$k^2=\frac{m^2}{e^2}$(пока обсуждение ограничивается случаем$-e A^0=p^0>0$).

Таким образом, первое уравнение с калибровочным условием

$$\begin{equation}\label{eq:pr5} A_\mu A^\mu=\frac{m^2}{e^2} \end{equation}$$ описывает как независимую динамику электромагнитного поля, так и согласованное движение заряженных частиц в соответствии с уравнениями Лоренца. Слова «независимая динамика» означают следующее: если значения пространственных составляющих$A^i$потенциала ($i=1,2,3$) и их первые производные по$x^0$,$\dot{A}^i$, известны во всем пространстве в некоторый момент времени ($x^0=const$), затем$A^0$,$\dot{A}^0$можно исключить с помощью калибровочного условия,$\lambda$можно исключить, используя первое уравнение для$\mu=0$(уравнение не содержит вторых производных по$x^0$для$\mu=0$), а вторые производные по$x^0$,$\ddot{A}^i$, можно определить из первого уравнения для$\mu=1,2,3$.

Однако вышесказанное относится к классической электродинамике. А квантовая теория? Оказывается, модифицированные уравнения Максвелла могут быть эквивалентны электродинамике Клейна-Гордона-Максвелла или (с некоторыми оговорками) электродинамике Дирака-Максвелла (см. мою статью Eur. Phys. J. C (2013) 73:2371 на https : //link.springer.com/content/pdf/10.1140/epjc/s10052-013-2371-4 ).

То есть, как одной системе уравнений удается описать поведение как заряженной материи (например, электронов и протонов), так и распространение фотонов.

Фотоны квантово-механические, а уравнения Максвелла классические, поэтому они не описывают фотоны. Они описывают электромагнитные поля и волны.

Уравнения Максвелла не предсказывают напрямую все, что касается заряженной материи. Однако, если у вас есть какая-то навязанная извне картина, которая дает хотя бы некоторое ограничение на то, на что похожа ваша заряженная материя, тогда уравнения Максвелла действительно обеспечивают некоторую прогностическую ценность. Отчасти это связано с тем, что Максвелл подразумевает сохранение энергии, импульса и заряда, и во многих случаях этих законов сохранения достаточно, чтобы предсказать то, что вы хотите знать.

Сами по себе уравнения Максвелла не определяют поведение электромагнитного поля и заряженных частиц. Скорее, эти уравнения описывают:

• Поведение свободного ЭМ поля
• Связь этого поля с зарядами и токами

Математически уравнения Максвелла неполны и должны быть подкреплены материальными уравнениями , описывающими реакцию частиц на электромагнитное поле. Они могут принимать форму простых феноменологических законов, таких как закон Ома,

$$\mathbf{j}=\hat{\sigma}\mathbf{E},$$ или появляются как решения уравнения Шредингера и других различных релятивистских и нерелятивистских моделей.