Как уравнения Максвелла однозначно определяют EE {\ bf E} и BB {\ bf B}, несмотря на то, что нет. уравнений, превышающих число. из неизвестных?

Уравнения Максвелла в свободном пространстве имеют вид

∇ ⋅ Е "=" 0 ,     ∇ ⋅ Б "=" 0
и
∇ × Е "=" − ∂ Б ∂ т ,     ∇ × Б "=" с − 2 ∂ Е ∂ т .
Первые два уравнения являются двумя скалярными уравнениями, тогда как вторые два уравнения являются векторными уравнениями, каждое из которых дает три независимых уравнения (покомпонентно)! Следовательно, есть 2 + 6 "=" 8 уравнения пока только 6 неизвестные: ( Е Икс , Е у , Е г ) и ( Б Икс , Б у , Б г ) .

Вопрос Когда количество неизвестных превышает количество уравнений, мы, как правило, не рассчитываем получить единственное решение. Однако, учитывая соответствующие граничные условия, уравнения Максвелла работают триумфально и дают уникальные решения для электрических и магнитных полей, я должен что-то упустить. Каково решение этого кажущегося парадокса?

Вы также можете посмотреть здесь physics.stackexchange.com/a/541022/247642 .

Ответы (3)

При условии, что первые два уравнения выполняются в начальных условиях, они избыточны для эволюции во времени, поскольку

∇ ⋅ ∂ Е ∂ т "=" 1 с 2 ∇ ⋅ ∇ × Б "=" 0
и поэтому ∇ ⋅ Е является постоянным, с аналогичным аргументом для ∇ ⋅ Б . Так что на самом деле у нас есть только 6 уравнения, определяющие эволюцию во времени, и это как раз то, что нужно.

Но не думаете ли вы, что столкнетесь с той же проблемой при работе с исходными уравнениями, т.е. с ненулевыми р и Дж ? Одна вещь, которую я замечаю, это то, что р и Дж связаны через уравнение неразрывности, которое встроено в уравнения Максвелла. Не знаю, спасение ли это.
@SRS Да, они избыточны по уравнению непрерывности. Есть стандартное хрестоматийное доказательство того, что уравнения Максвелла подразумевают уравнение неразрывности. Вы можете взять точно такое же доказательство и запустить его в обратном порядке, чтобы показать, что два других уравнения Максвелла плюс уравнение неразрывности (которое должно выполняться, если у вас есть физические источники) влекут за собой два других.

Уравнения Максвелла являются уравнениями в частных производных , поэтому большая часть интуиции, которая возникает при работе с системами линейных уравнений или обыкновенными дифференциальными уравнениями, здесь неприменима.

Более конкретно: решения уравнений дивергенции определены с точностью до завитка, т.е.

∇ ⋅ А "=" ∇ ⋅ ( А + ∇ × Б ) .
Точно так же решения уравнений ротора определяются с точностью до градиента:
∇ × А "=" ∇ × ( А + ∇ ф ) .
Это отсутствие определенности лежит в основе определения потенциалов:
Е "=" − ∇ ф + 1 с ∂ А ∂ т , Б "=" ∇ × А .
Обратите внимание, что потенциалы на самом деле не определены однозначно - они должны поддерживаться уравнением, фиксирующим калибровку (обычно это кулоновская или лоренцевская калибровка).

Наконец, рассматриваемые уравнения не содержат источников (т. е. плотности электрического заряда и плотности тока). На самом деле уравнения Максвелла недоопределены , поскольку они не содержат материальных уравнений , определяющих, как на источники воздействует электромагнитное поле.

Для свободных электромагнитных полей E и B взаимозависимы, поэтому на самом деле есть только три уравнения. Для каждого из трех направлений Е или В есть два направления распространения и две фазы, что дает 12 независимых решений на частоту , если их бесконечно много. Общее количество возможных решений бесконечно. В терминах векторного потенциала все свободные уравнения Максвелла накладывают ограничение, что ю "=" к с .

Как уравнения Максвелла однозначно определяют EE {\ bf E} и BB {\ bf B}, несмотря на то, что нет. уравнений, превышающих число. из неизвестных?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v