Полнота уравнений Максвелла

Если рассматривать уравнения Максвелла в виде:
∇ ⋅ Е → "=" р ϵ 0
∇ ⋅ Б → "=" 0
∇ × Е → "=" − ∂ Б → ∂ т
∇ × Б → "=" мю 0 Дж → + мю 0 ϵ 0 ∂ Е → ∂ т
Это 1+1+3+3=8 скалярных уравнений. Однако они связывают векторы Е → , Б → а н г Дж → у которых 3 ⋅ 3=9 скалярных компонент. Из того, что я читал, эта аномалия фиксируется введением так называемых определяющих соотношений, которыми в данном случае может быть, скажем, закон Ома. Дж → "=" о Е → , что дает 9 необходимых уравнений. Но это означало бы, что закон Ома не зависит от уравнений Максвелла. Я читал, что уравнения Максвелла однозначно определяют электромагнитное поле, тогда не должен ли закон Ома содержаться где-то в уравнениях Максвелла? Я придерживался мнения, что из уравнений Максвелла в принципе можно вывести выражение, связывающее Дж → а н г Е → и тогда для простоты мы могли бы выбрать только член первого порядка, получив, таким образом, линейный закон Ома. Но, похоже, это не тот случай. Таким образом, законы, подобные закону Ома, не содержатся в уравнениях Максвелла, и, следовательно, эти уравнения не определяют однозначно Е → а н г Б → ? (Учитывая, конечно, р и Дж → ).

Если вы не знаете токи (J), вы не можете знать поля. Неудивительно, что уравнения недоопределены, если рассматривать J как неизвестное.
Если вы собираетесь говорить о том, как движутся заряды в ответ на электромагнитное поле, вам нужен какой-то закон, связывающий поля, действующие на заряды, со скоростями этих зарядов. Это обеспечивается силой Лоренца и вторым законом Ньютона (или уравнением Шредингера в КМ). Закон Ньютона (соответственно уравнение Шредингера) явно не зависит от уравнений Максвелла и является необходимым компонентом для вывода чего-то вроде закона Ома из первых принципов (не говоря уже о некоторых статистических аргументах).

Ответы (2)

То, что вы написали, как уравнения Максвелла, действительны для бесплатных зарядов. р , свободные токи Дж "=" р в , в вакууме и в них нет закона Ома.

Если вместо свободных зарядов/токов в вакууме у вас есть макроскопический сыпучий материал, жидкость, газ и т. д., ваша версия уравнений Максвелла их не описывает. Вместо этого мы предполагаем, что у нас есть некоторые знания о том, как макроскопические токи/заряды взаимодействуют с макроскопическими Е и Б поля, которые являются макроскопическими средними значениями микроскопических полей. Получается, что тогда нужно четыре (4), а не два макроскопических поля, условно обозначаемых как Е , Д и Б , ЧАС и отношения либо выводятся из микроскопической физики (квантовая и статистическая механика + термодинамика), либо измеряются напрямую. Одним из таких макроскопических соотношений является закон Ома, но есть и другие, описывающие макроскопическое поведение диэлектриков. Д "=" Д ( Е ) или магнитное вещество Б "=" Б ( ЧАС ) , и т. д.

Если я правильно понимаю, что вы говорите, Дж → является известной величиной, поэтому у вас есть только 6 скалярные величины, о которых нужно беспокоиться - не 9 .

Все это немного усложняется тем фактом, что уравнения включают не только Б → и Е → , они также содержат свои производные по времени - ∂ Е → ∂ т и ∂ Б → ∂ т - и куча пространственных производных в завитке и дивергенции. Так что на самом деле существует больше, чем просто 6 скалярные величины, подразумеваемые Е → и Б → - это проблема, связанная с дифференциальными уравнениями, а не просто с линейной алгеброй.

Полезный способ представить, что здесь происходит, состоит в том, что у нас есть 6 дифференциальных уравнений (в двух векторных уравнениях, включающих завиток) и 2 уравнения ограничений (в двух уравнениях дивергенции). Затем мы хотим однозначно определить 6 скалярные величины в Е → и Б → .

Глядя на дифференциальные уравнения, мы имеем 6 уравнения для 6 неизвестные, что не является проблемой. Тогда остается только один вопрос: при подходящем наборе граничных условий имеем ли мы достаточно информации, чтобы однозначно определить Е → и Б → как функцию пространства и времени.

Я не буду притворяться, что знаю, как доказать, что мы это делаем, однако здесь есть хороший ответ, который объясняет это.

Полнота уравнений Максвелла
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v