Зачем нужны законы Гаусса для электричества и магнетизма?

Источником электромагнитного поля является распределение электрического заряда, р , а ток с плотностью тока Дж . Учитывая только закон Фарадея и закон Ампера-Максвелла:

(1) ∇ × Е "=" − ∂ Б ∂ т и ∇ × Б "=" мю 0 Дж + 1 с 2 ∂ Е ∂ т
В изолированной системе общий заряд не может измениться. Таким образом, мы имеем уравнение неразрывности, связанное с сохранением заряда:
(2) ∂ р ∂ т "=" − ∇ ⋅ Дж
Из этих трех уравнений, если мы возьмем расходимость обоих уравнений в ( 1 ) , и используя ( 2 ) в законе Ампера-Максвелла мы можем получить два закона Гаусса для электричества и магнетизма:
(3) ∇ ⋅ Б "=" 0 и ∇ ⋅ Е "=" р ε 0

Следовательно, предположение о ( 1 ) и ( 2 ) подразумевает ( 3 ) . На первый взгляд можно сказать, что нам нужны только эти три уравнения. Также сохранение заряда выглядит более сильным условием, чем два закона Гаусса (это закон сохранения!), но, как говорится в статье в Википедии, игнорирование законов Гаусса может привести к проблемам в численных расчетах . Это противоречит приведенному выше обсуждению, поскольку вся информация должна содержаться в первых трех уравнениях.

Итак, вопрос в том, каково информационное содержание двух законов Гаусса? Я имею в виду, что помимо демонстрации нам источников электрического и магнитного поля, должно быть что-то лежащее в их основе, что требует дивергенции полей. Если нет, то в чем причина изначально ложных результатов в упомянутых численных расчетах?

(Кроме того, я не знаю, о каком типе расчета идет речь в статье.)

Я думаю, что в статье речь идет об итерационных численных решениях, которые по необходимости не являются точными. Это говорит о том, что артефакты алгоритма могут стать большими.
В учебнике Новожилов, Электродинамика, глава 1, показано, что либо можно взять за исходную точку четыре уравнения Максвелла, либо можно взять уравнение неразрывности и два роторных уравнения Максвелла, однако надо ТАКЖЕ еще взять два дивергентных уравнения Максвелла уравнения в качестве предположений, однако теперь нужно только предположить, что они должны выполняться в один момент времени, и можно использовать другие уравнения, чтобы затем показать, что они будут выполняться во все последующие моменты времени.

Ответы (3)

Я не согласен, что вы получаете, что вы получаете закон Гаусса, используя предложенный метод. Вместо этого вы получаете

∂ ∇ ⋅ Б ∂ т "=" 0 , 1 с 2 ∂ ∇ ⋅ Е ∂ т + мю 0 ∇ ⋅ Дж "=" 1 с 2 ∂ ∇ ⋅ Е ∂ т − мю 0 ∂ р ∂ т "=" 0.
Эти уравнения дают вам только скорость изменения ∇ ⋅ Б и ∇ ⋅ Е , но не их значение, которое должно быть определено интегрированием по времени и дает вам ответ с точностью до константы, зависящей от положения (производная по времени которой равна нулю). Например, закон Гаусса для электричества определяется формулой
∇ ⋅ Е ( р , т ) "=" 1 ϵ 0 р ( р , т ) + С ( р ) .
Поэтому нам нужно дополнительное ограничение для указания функции С ( р ) , то есть закон Гаусса, который в этих терминах может быть записан как:
С ( р ) "=" 0.

Итак, информация о законах Гаусса в завитках не содержится. Тогда переопределение уравнений Максвелла неверно, не так ли? Я прочитал один из источников статьи в вики, и в нем есть следующее предположение в случае производной по времени от ∇ ⋅ Б : «Если когда-либо в своей прошлой истории поле исчезало, эта константа должна быть равна нулю, и, поскольку можно разумно предположить, что первоначальная генерация поля была в не бесконечно отдаленное время», заключая ∇ ⋅ Б "=" 0 . Являются ли эти предположения «реалистичными»?
На самом деле уравнения Максвелла недоопределены, поскольку в них отсутствует описание того, как поля влияют на заряд и токи, так называемые материальные уравнения . Кроме того, эти уравнения не нужно обосновывать — они постулируются феноменологически, подобно закону гравитации или законам Ньютона.

В Википедии есть статья , связанная с цитируемым утверждением. Короче говоря, система на самом деле не является сверхдетерминированной. Авторы сообщают, что численные методы, игнорирующие бездивергентные условия, приводят к неточным решениям. Они показывают, что они необходимы для гарантии единственности решений (необходимо учитывать граничные условия).

Это просто явный пример ответа @vadim: выберите функцию ф ( Икс → ) , постоянный во времени, такой, что Δ ф "=" 5 . Набор Б → "=" ∇ → ф , Е → "=" Дж → "=" 0 , р "=" 17 . Тогда уравнения. (1) и (2) выполняются, но оба уравнения в (3) не выполняются.

Зачем нужны законы Гаусса для электричества и магнетизма?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v