Уравнения Максвелла - недоопределенные - единственность

Уравнения Максвелла можно рассматривать как два динамических уравнения (два уравнения завихрения) и два уравнения ограничений (два уравнения дивергенции).

Итак, у нас есть 6 неизвестных ( Е Икс , Е у , Е г , Б Икс , Б у , Б г ).

Два динамических уравнения дают 6 дифференциальных уравнений.

Итак, у нас есть 6 неизвестных, 6 дифференциальных уравнений, но только 2 уравнения связи.

Таким образом, остается 4 степени свободы.

Как получить единственное решение с 4 степенями свободы?

Вы не знаете. Ток и плотность заряда в некоторый момент времени t поля не задают. Например, когда вокруг нет зарядов, у вас все еще может быть радиация.
Вопрос о том, являются ли уравнения Максвелла переопределенными или недоопределенными, обсуждался в этом посте Phys.SE.
С точки зрения Гамильтона динамическим является только закон Ампера, а остальные три являются ограничениями.
Как вы понимаете, что уравнения ограничений работают как начальные условия? Начальные условия, знаете ли, начальные условия.
В уравнениях Максвелла нет необходимости задавать отношения дивергенции на все времена. Достаточно указать их в т "=" 0 . Тогда уравнения ротора удостоверятся, что они выполняются для всех т > 0 . Именно в этом смысле я имею в виду, что уравнения ограничений являются начальными условиями. Пост Вальтера проясняет это.
Это верно, но это не превращает уравнения ограничений в начальные условия, как указано в вашем сообщении. (Ответ Вальтера ясно дает понять, что вам нужны определенные начальные условия. Как и следовало ожидать, исходя из математических или физических соображений.) Пожалуйста, отредактируйте свой пост, чтобы отразить это.

Ответы (3)

Уравнения Максвелла читать

(1) ∇ ⋅ Е → "=" р
(2) ∇ × Е → "=" − ∂ Б → ∂ т
(3) ∇ ⋅ Б → "=" 0
(4) ∇ × Б → "=" Дж → + ∂ Е → ∂ т
Для простоты я предполагаю Дж → "=" 0 . Уравнения (2) и (4) образуют линейную систему первого порядка
(5) Д Икс Икс ( т , Икс ) "=" ∂ т Икс ( т , Икс )
где
Икс "=" ( Е → , Б → ) т
является вектором в р 6 . Д Икс является дифференциальным оператором первого порядка, действующим только на пространственную переменную Икс :
Д Икс "=" ( ∇ × , ∇ × ) т С
и С это матрица 6 × 6 разложен на 4 блока из 3 × 3 матрицы: я и − я на антидиагонали и 0 , 0 на главной диагонали.

Как только вы зафиксируете начальные условия Е → ( 0 , Икс ) , Б → ( 0 , Икс ) , то есть Икс ( 0 , Икс ) , существует единственное решение (5). Это верно при подходящих условиях регулярности. Это

(6) Икс ( т , Икс ) "=" е т Д Икс Икс ( 0 , Икс )
Мы получили, что уравнения (2) и (4) всегда допускают единственное решение при фиксированных начальных условиях (случай Дж → ≠ 0 это небольшое усложнение нашего упрощенного случая). Как насчет (1) и (3)? Известно, что (2) и (4) вместе с законом сохранения заряда приводят к
∂ т ( ∇ ⋅ Е → − р ) "=" 0
и
∂ т ( ∇ ⋅ Б → ) "=" 0
где поля Е → и Б → решить (2) и (4). Следовательно, если начальные условия для (2) и (4) удовлетворяют (1) и (3) (и мы можем зафиксировать начальные условия с помощью этой функции), эти ограничения действительны во все времена.

ПРИЛОЖЕНИЕ . В случае Дж → присутствует, то общее решение (2) и (4) представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (5), добавленного к частному решению (2)-(4). На практике

Икс ( т , Икс ) "=" е т Д Икс Д ( Икс ) + е т Д Икс ∫ 0 т е − т Д Икс Дж ( т , Икс ) г т
с Дж "=" ( Дж → ( т , Икс ) , 0 → ) т . Ясно, что Д ( Икс ) "=" Икс ( 0 , Икс ) снова.

Уравнения Максвелла лежат в основе явления ЭМ. Какие бы поля вы ни выбрали, они не должны нарушать эти основные 4 уравнения. Предположим, нам поставлена ​​задача найти электрическое и магнитное поля ЭМ волны или заряда, или чего бы то ни было. Как вы сказали, теперь у нас есть проблема с четырьмя компонентами. Но степень свободы не равна 4, поскольку каждый компонент E связан с каждым компонентом B (например, закон Фарадея).
Ваш вопрос имеет смысл. Единственность решения соответствует нахождению значений поля волны. Обратите внимание, что поля E и B не являются независимыми. Они взаимозависимы. Когда у вас есть E (компоненты электрического поля), вы можете предсказать значение B, поскольку оба они связаны со скоростью волны в рассматриваемой среде. Таким образом, невозможно рассматривать E и B с разных точек зрения. Это противоречит уравнениям Максвелла.
Итак, все, что вам нужно, это знать либо B, либо E. Тогда есть только одна степень свободы, хотя проблема все еще четырехкомпонентная.

Давайте посмотрим на 4 уравнения в ED,

(1) ∇ ⋅ Е → "=" р
(2) ∇ × Е → "=" − ∂ Б → ∂ т
(3) ∇ ⋅ Б → "=" 0
(4) ∇ × Б → "=" Дж → + ∂ Е → ∂ т
которую, конечно, можно записать в более компактной форме,
(5) ∂ мю Ф мю ν "=" Дж ν

The ( 2 ) и ( 3 ) уравнение на самом деле является моими уравнениями ограничений. Есть 4 ограничения - ( 2 ) является векторным уравнением, поэтому 3 ограничения плюс 1 из скалярного уравнения ( 2 ) . Итак, у нас есть 2 степени свободы от 6 изначально.

(6) ( 3 ) ⟹ Б → "=" ∇ × А →
(7) ( 2 ) ⟹ Е → "=" − ∇ ф − ∂ А → ∂ т

Обратите внимание, что я могу выполнить калибровочное преобразование так, что

(8) А → → А → + ∇ ф ( Икс → , т )
(9) ф → ф − ∂ ф ( Икс → , т ) ∂ т

и мой Е → и Б → которые являются реальными измеряемыми величинами, остается неизменным. Так, А → и ф не уникальный .

Вопрос был в уникальности Е и Б , нет А и ф .
Я уже упоминал, что Е и Б остается неизменной.
Ты взял Е и Б как дано. Если вы предполагаете, что они однозначно определяются начальными условиями при отсутствии каких-либо дополнительных предположений, то вы, конечно, ошибаетесь: попробуйте заменить Е с Е + г р а г ( ф ) и Б с Б + г р а г ( г ) где ф и г — произвольные гармонические функции.
Я предполагал, что они уникальны с другой точки зрения: калибровочной инвариантности, А мю → А мю + ∂ мю θ ( Икс )
Да, другими словами, вы не ответили на вопрос, который не имел ничего общего с калибровочной инвариантностью.
Уравнения Максвелла - недоопределенные - единственность
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v