Как узнать, искривлена ​​ли метрика?

Я читал о метрике Керра (из книги Шона Кэрролла), и то, что он сказал, меня смутило.

Начнем с того, что метрика Керра довольно запутана, но важно то, что она содержит две константы: М а также а . М идентифицируется как некоторая масса, и а определяется как угловой момент на единицу массы. Он говорит, что эта метрика сводится к плоскому пространству в пределе М → 0 , и дается

г с 2 знак равно − г т 2 + р 2 + а 2 потому что 2 ⁡ θ р 2 + а 2 г р 2 + ( р 2 + а 2 потому что 2 ⁡ θ ) г θ 2 + ( р 2 + а 2 ) грех 2 ⁡ θ г ф 2

а также р , θ а также ф — правильные сферические полярные координаты.

Но я не понимаю, почему это пространство заведомо плоское. Метрика Шварцшильда также содержит члены, включающие г т 2 , г р 2 , г θ 2 а также г ф 2 но изогнутый. Я всегда думал, что метрика с недиагональными элементами подразумевает искривление пространства, но, очевидно, сильно ошибалась.

Вопрос: Как узнать, кривая метрика или нет, по ее компонентам?

Ответы (4)

Вы можете сказать, искривлено пространство (или пространство-время) или нет, вычислив его тензор кривизны . Или, что более однозначно, один из скаляров кривизны (например , Риччи или Кречмана ), поскольку они не зависят от системы координат, но вся информация в скалярах также содержится в тензоре Римана.

Не обязательно очевидно, является ли данная метрика изогнутой или плоской. Вы можете взять идеально плоское пространство-время и выразить его в какой-нибудь причудливой системе координат, в которой метрика имеет непостоянные внедиагональные члены. Это простое упражнение — взять плоское пространство и использовать законы тензорного преобразования для метрики с каким-то произвольным странным преобразованием координат, которое вы только что придумали. Вы увидите, что я имею в виду.

Это скаляры кривизны, потому что вычисление тензоров сложнее? Я думал, что условие, что р знак равно 0 соответствует метрике без источника? Или это тоже неправильно?
Просто значения скаляров не зависят от координат. Скаляры кривизны могут исчезнуть, но полный тензор кривизны не исчезнет. Примером последней ситуации является решение Шваршильда в ОТО. Ты прав, р знак равно 0 соответствует решениям без источников в ОТО, которые не обязательно должны быть плоскими. Именно полный тензор кривизны говорит вам, является ли пространство плоским или нет, и действительно, тензор кривизны пространства-времени Шваршильда отличен от нуля. Но р ≠ 0 подразумевает кривизну однозначно.
Собственно, только что вспомнилось, р знак равно 0 в ОТО соответствует любому источнику с р − 3 п знак равно 0 (по следам Т мю ν ). Общая ситуация со свободным источником р мю ν знак равно 0 , что, разумеется, подразумевает р знак равно 0 также.

Плоское пространство-время относится здесь к пространству-времени Минковского, записанному со сферическими координатами (я думаю, что один из ваших знаков неверен в вашем уравнении)

г с 2 знак равно − г т 2 + г р 2 + р 2 г θ 2 + р 2 с я н 2 θ г ф 2 .
где метрика диагональная и имеет постоянные коэффициенты грамм мю ν знак равно ( − 1 , 1 , 1 , 1 ) . Я бы сказал, что условия для плоского пространства-времени, касающиеся только его метрики, относятся к его диагональной форме и постоянной (по крайней мере, постоянной)

это не правильно. можно найти преобразования координат т , Икс , у , г где метрика становится недиагональной, но по-прежнему описывает то же пространство Минковского. Что касается постоянных записей - в приведенном вами примере уже есть коэффициенты, которые меняются в зависимости от координат!

В пределе, где М → 0 , метрика Керра сводится к форме метрики Минковского в сферических координатах. В этом смысле мы признаем это и говорим, что это «очевидно», то есть плоско. (Метрика Шварцшильда также плоская в пределе М → 0 .)

Но чтобы показать, искривлена ​​или нет любая данная метрика, мы должны вычислить инвариант кривизны. Например, обычно мы вычисляем кривизну Риччи р знак равно р я я знак равно р к я к я где первый р кривизна Риччи, вторая р тензор кривизны Риччи и третий р тензор Римана. Если это 0 пространство искривлено, в противном случае это не так. У Кэрролла есть это в его книге.

Это не совсем правильно - если тензор кривизны Римана тождественно равен нулю, то метрика плоская. Но он может быть изогнутым и все еще иметь схватки. р мю ν знак равно 0 или же р знак равно 0 . р мю ν знак равно 0 только говорит вам, что в этой точке пространства-времени нет никакой энергии напряжения, но все еще может быть сильная кривизна (например, метрика Шварцшильда имеет р мю ν знак равно 0 везде, кроме сингулярности), и р знак равно 0 только говорит вам, что тензор энергии-импульса в этой точке не имеет следов (например, это верно в любом пространстве-времени, заполненном жидкостью с преобладанием излучения).

Кэрролл указывает, что после предела (a=fixed,M->0) «мы признаем пространственную часть этого как плоское пространство в эллипсоидальных координатах», поэтому для того, чтобы понять, что это было плоское пространство путем проверки, вы должны знали об аспекте плоской метрики в эллипсоидальных координатах, touche.

Как узнать, искривлена ​​ли метрика?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v