Чем отличаются пространственная кривизна и временная кривизна?

Вы должны быть осторожны при рассмотрении кривизны времени и пространственной кривизны по отдельности, потому что это разделение не является независимым от наблюдателя. В некоторых случаях метрика может быть записана в координатах, где$dt^2$термин$c^2$(или единица в геометрических единицах), но это всего лишь выбор координат.

Если взять, к примеру, метрику FLRW, то мы обычно записываем ее так:

$$ds^2 = -dt^2 + a(t)\left(dx^2 + dy^2 + dz^2\right)$$

куда$t$,$x$,$y$а также$z$являются сопутствующими координатами. Однако его также можно записать с использованием конформных координат как:

$$ds^2=a(\eta)^2(-d\eta^2+dx^2+dy^2+dz^2)$$

Это та же метрика, описывающая ту же геометрию пространства-времени, но в одном случае временная координата выглядит изогнутой, а в другом — плоской. Обе метрики прекрасно описывают геометрию, и мы выбираем ту версию, которая окажется наиболее удобной для наших целей.

Но вернемся к вашему вопросу: траектория свободно падающей частицы, т. е. ее геодезическая, задается уравнением геодезической:

$$\frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm d\tau^2} = -\Gamma^\alpha_{\,\,\mu\nu}U^\mu U^\nu \tag{1}$$

В этом уравнении$\mathbf x$это позиция$(t,x,y,z)$частицы в пространстве-времени,$\mathbf U$это четыре скорости и символы$\Gamma^\alpha_{\,\,\mu\nu}$являются символами Кристоффеля, описывающими кривизну пространства-времени. Вы можете думать об этом как о своего рода эквиваленте второго закона Ньютона в том смысле, что он связывает вторую производную положения с кривизной.

Предположим, мы рассматриваем неподвижную частицу (то есть стационарную в наших координатах). Поскольку частица неподвижна в пространстве, компоненты четырех скоростей$U^x = U^y = U^z = 0$и только$U^t$не равно нулю. В этом случае геодезическое уравнение (1) упрощается до:

$$\frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm d\tau^2} = -\Gamma^\alpha_{\,\,tt}U^t U^t \tag{2}$$

Вычисление символов Кристоффеля является огромной проблемой, если у вас нет под рукой копии Mathematica, но обычно вы можете найти их с помощью Google, как это действительно имеет место в случае с червоточиной Эллиса (обратите внимание, эта ссылка является PDF-файлом) и единственным ненулевым символом Кристоффеля. символы (я перечислю их все на случай, если ссылка выше сломается):

$$\begin{align} \Gamma^\rho_{\theta\theta} &= -\rho \\ \Gamma^\rho_{\phi\phi} &= -\rho\sin^2\theta \\ \Gamma^\theta_{\theta \rho} = \Gamma^\theta_{\rho\theta} &= \frac{\rho}{n^2+\rho^2} \\ \Gamma^\theta_{\phi\phi} &= -\sin\theta\cos\theta \\ \Gamma^\phi_{\phi \rho} = \Gamma^\phi_{\rho\phi} &= \frac{\rho}{n^2+\rho^2} \\ \Gamma^\phi_{\phi\theta} &= \Gamma^\phi_{\theta\phi} = cot \theta \end{align}$$

Обратите внимание, что все символы$\Gamma^\alpha_{tt}$равны нулю, поэтому наше геодезическое уравнение (2) принимает вид:

$$\frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm d\tau^2} = 0$$

Или, другими словами, в червоточине Эллиса неподвижная частица остается неподвижной.

Но даже к этому результату нужно относиться с некоторой осторожностью, потому что вы должны понимать свои координаты, чтобы интерпретировать его. Чтобы показать это, рассмотрим показатель FLRW, о котором я упоминал выше. Я не буду вдаваться в подробности, но вы можете сделать точно такой же расчет для метрики FLRW и прийти к такому же выводу:

$$\frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm d\tau^2} = 0$$

Но помните, что в метрике FLRW координаты являются сопутствующими координатами, а не координатами, которые вы или я используем, например, при измерении расстояний до далеких галактик, и сопутствующие координаты перемещаются относительно обычных координат (именно поэтому далекие галактики движутся и действительно ускоряется относительно нас). Даже когда мы обнаруживаем, что в определенной системе координат неподвижная частица остается неподвижной, это не означает, что мы на самом деле наблюдаем, что неподвижный объект остается неподвижным.

(Хотя, как это происходит в пространстве-времени червоточины Эллиса, мы с вами наблюдаем, что неподвижный объект остается неподвижным.)

Я думаю, что это относится к вашим вопросам с 1 по 4. Что касается ваших вопросов 5 и 6, так случилось, что я задал точно такой же вопрос в Что делает координату искривленной? и ответ состоит в том, что по крайней мере две главные кривизны должны быть отличны от нуля. Таким образом, вы не можете найти геометрию/систему координат, где кривизна находится только во временной координате.

Рассмотрим локальный репер Лоренца,$g_{ij} = \mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$. Наблюдатель (на самом деле конгруэнтность наблюдателей), покоящийся относительно этой системы отсчета, имеет вектор скорости$u^i = \delta^i_0$. На него не действует сила (геодезическое отклонение), если он подчиняется уравнению геодезии, которое в этом случае становится просто$\gamma^i{}_{00} \equiv 0$. Из совместимости связи с метрикой мы знаем, что$\gamma^i{}_{00} \equiv 0$если и только если$\gamma^0{}_{i0} \equiv 0$, а из первого уравнения Картана

$$d\omega^i = \omega^j \wedge \gamma^i{}_j = \gamma^i{}_{jk}\omega^j\wedge\omega^k,$$ мы знаем, что это, безусловно, так, если $d\omega^0 \equiv 0$. Здесь $\gamma^i{}_j$формы соединения и $\gamma^i{}_{jk}$компоненты (коэффициенты вращения Риччи). Учитывая набор координат, естественно считать наблюдателя статичным, если вектор скорости задается выражением $$u^\mu = \frac{1}{\sqrt{g_{00}}}\delta^\mu{}_0$$ (здесь я позволю $\mu,\nu,\ldots$обозначают индексы координат). Учитывая тогда статический случай ( $g_{0\mu} \equiv 0$для всех $\mu = 1,2,3$) находим, что при задании $e^\mu_0 = u^\mu$у нас есть $d\omega^0 \equiv 0$когда бы ни $g_{00}$постоянно. Такова причина утверждения, что гравитационное притяжение возникает из-за непостоянства $g_{00}$. Как видите, это определенно упрощение.

Как видно из приведенного выше воздействия, любой наблюдатель, не находящийся в покое относительно нашей локальной системы Лоренца, может испытывать силу (хотя характер ее соответствия высоким скоростям зависит от точной формы метрики и/или форм связи).

Что касается ваших вопросов о воздействии на свет, важно помнить, что свет следует нулевым геодезическим. Поэтому на них всегда будет влиять природа коэффициентов вращения.$\gamma^i{}_{00}$но и по крайней мере некоторыми другими коэффициентами. Потребовалась бы скорость больше скорости света (космоподобный наблюдатель), чтобы избежать эффектов$\gamma^i{}_{00}$, но это явно нефизично.

Хотя, как ссылается Джон Ренни в своем ответе, бессмысленно говорить об искривлении в одном направлении, в свете приведенных выше соображений мы могли бы подумать о случае, когда$\gamma^i{}_{00} = \gamma^0{}_{i0}$являются единственными ненулевыми коэффициентами вращения. Это конкретно соответствует простейшему случаю, когда чем больше скорость по отношению к нашей системе отсчета, тем меньше «влияние кривизны» на движение (хотя, как отмечалось выше, для полного их устранения потребовалась бы скорость больше скорости света). затем$d\omega^i \equiv 0$для всех$i = 1,2,3$. По второму уравнению Картана

$$d\gamma^i{}_j = \gamma^k{}_j\wedge\gamma^i{}_k + \frac{1}{2}R^i{}_{jk\ell}\omega^k\wedge\omega^\ell,$$ мы сразу находим $$d\gamma^0{}_i = -\gamma^0{}_{i0|j} \omega^0 \wedge \omega^j = R^0{}_{i0j} \omega^0 \wedge \omega^j$$ чтобы дать единственные (потенциально) ненулевые компоненты кривизны, с точностью до симметрий. Обратите внимание, что мы берем $i,j \neq 0$, откуда, в частности, следует, что тензор Риччи равен нулю тогда и только тогда, когда равен нулю тензор Римана. Поэтому мы можем, по крайней мере, заключить, что такие растворы не могут быть вакуумными и, следовательно, не могут описывать внешность какого-либо объекта.

РЕДАКТИРОВАТЬ: На самом деле, я был немного ленив в заключении выше. Делая сокращения и игнорируя любую космологическую постоянную, мы находим, что уравнения поля Эйнштейна дают$T_{0i} = 0$для всех$i$, откуда любое (неплоское) решение должно нарушать условие доминирующей энергии. Таким образом, мы можем далее заключить, что такое решение нефизично, поскольку существуют времениподобные наблюдатели, которые наблюдают, как энергия течет быстрее скорости света, т.е. времяподобные векторы$v^i$такой, что$T_i{}^jv^i$пространственноподобна (а именно, все наблюдатели, не покоящиеся относительно нашей системы отсчета).