Поляризационная и калибровочная симметрия

В КТП динамическая переменная представляет собой четырехпотенциальную$A_\mu$. Электромагнитное поле определяется$F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$, антисимметричный тензор с шестью независимыми компонентами: 3 для электрического поля и 3 для магнитного поля$E^i = - F^{0i}$,$B^i = -\frac{1}{2}\varepsilon^{ijk}F^{jk}$. Уравнения Максвелла

$$\partial_\mu F^{\mu\nu} = \partial_\mu\partial^\mu A^\nu -\partial^\nu \partial_\mu A^\mu = 0$$ который выводится из следующего лагранжиана $$\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$$ Кроме того, четырехпотенциал обладает калибровочной симметрией, что означает, что наблюдаемые не меняются при преобразовании $$A_\mu \to A_\mu - \partial_\mu \chi$$ Это позволяет нам фиксировать различные датчики, которые могут упростить (или нет) расчеты. Например, можно выбрать$A$так что$A^0 = 0$и$\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0$(так называемый радиационный датчик). С этими выборами уравнение Максвелла сводится к безмассовому уравнению Клейна-Гордона $$\partial_\mu \partial^\mu A^i = 0$$ Частным решением этого уравнения является $$A^\mu(k, \lambda) = \epsilon^\mu(k, \lambda) a_{k,\lambda} e^{-ikx} + {\epsilon^\mu}^*(k, \lambda) a_{k,\lambda}^*e^{ikx} \qquad \text{with}\quad k_\mu k^\mu =0$$ Здесь$a_k$- амплитуда моды (которая станет оператором уничтожения при каноническом квантовании) и$\epsilon^\mu$вектор поляризации и$\lambda$является индексом базиса векторов поляризации. В общем решении вы должны просуммировать все возможные импульсы и поляризации. Используя радиационный датчик,$A^0 = 0$подразумевает, что$\epsilon^0 =0$и$\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=0$подразумевает$k_i\epsilon^i = 0$, это обычная поляризация в классической электродинамике, перпендикулярная направлению распространения. Как видите, из 4 возможных степеней свободы для поляризации одна устраняется калибровочной свободой, а другая — уравнениями движения.

Другим возможным выбором калибровки является калибр 't Hooft и Feynman . На этот раз мы ничего не накладываем на 4-потенциал напрямую, а нарушаем вручную калибровочную симметрию в лагранжиане

$$\mathcal{L}' = -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} - \frac{1}{2}(\partial_\mu A^\mu)^2$$ Суть этого подхода в том, что вам нужно, чтобы канонические импульсы были сопряжены с каждым компонентом в$A_\mu$для канонического квантования. Поскольку лагранжиан Максвелла устанавливает, что$\partial_0 A^0 = 0$, вы столкнулись с проблемами. Вы можете устранить$A^0$в целом (как указано выше) или включить специальный термин, чтобы сделать$\partial_0 A^0 \neq 0$и выбросьте его позже. С этим новым лагранжианом вы снова получаете безмассовое уравнение Клейна-Гордона $$\partial_\mu \partial^\mu A^\nu = 0$$ Теперь у вас есть четыре степени свободы для вектора поляризации, или, по крайней мере, кажущиеся. Другая проблема с этой калибровкой состоит в том, что четырехпотенциал с поляризацией$\epsilon^\mu(k,0) =( \epsilon, 0, 0, 0)$имеет отрицательную норму. Решением является квантование Гупта-Блейлера : нам нужно любое физическое состояние$|\psi\rangle$,$|\phi\rangle$проверять $$\langle \psi | \partial_\mu A^\mu |\phi \rangle = 0$$ При выполнении этого условия обнаруживается, что временная и продольная поляризации должны проявляться вместе в любом физическом состоянии, что уменьшает степень свободы на единицу. Кроме того, состояния с этой странной временно-продольной поляризацией имеют нулевую норму, нулевую энергию, нулевой импульс и т. д. Поэтому вы можете просто отбросить их без каких-либо физических последствий и эффективно устранить еще одну степень свободы. В итоге остаются только старые добрые поперечные поляризации.

Вкратце: при любом выборе датчика есть две поляризации, перпендикулярные направлению распространения.

Поляризация электрического поля

Когда у вас есть четырехпотенциал, легко получить электрическое поле. Для четырехпотенциального выше

$$E^i = - F^{0i} = \partial^i A^0 - \partial^0 A^i = i \omega_k \left( -\epsilon^i(k, \lambda) a_{k,\lambda} e^{-ikx} + {\epsilon^i}^*(k, \lambda) a^*_{k,\lambda} e^{ikx} \right) = 2 \omega_k \textrm{Im}[\epsilon^i(k,\lambda) a_{k,\lambda}]\sin(\omega_k t - \vec{k}\cdot \vec{x})$$ Итак, мы восстановили типичную плоскую волну с амплитудой$E_0 = 2\omega_k \textrm{Im} (a_{k,\lambda})$и вектор поляризации$\epsilon^i$.

Конечно, вы можете предположить наличие нескольких плоских волн с различными поляризациями и таким образом получить круговые поляризации и эллиптические поляризации. В КТП фотоны с круговой поляризацией особенно важны, поскольку они являются собственными состояниями спиральности.