Задание состояния поляризации фотона, классический поляризованный пучок света и связь с E±iBE±iB\textbf{E}\pm i\textbf{B}

Question

Задание состояния поляризации фотона, классический поляризованный пучок света и связь с E±iBE±iB\textbf{E}\pm i\textbf{B}

фотоны
Физика
поляризация
квантовая теория поля
классическая теория поля
классическая электродинамика

СРС

В классической электродинамике состояние поляризации монохроматической электромагнитной волны определяется направлением электрического поля. Например, $\textbf{E}=\textbf{E}_0\cos(\textbf{k}\cdot\textbf{r}-\omega t)$ где $\textbf{E}_0=E_0\hat{\textbf{x}}$ , представляет собой линейно поляризованную волну, поляризованную вдоль $x-$ ось. Сходным образом, $Е "=" Е_{0 Икс} \hat{Икс} потому что (к \cdot р - ю т) + Е_{0 у} \hat{у} грех (к \cdot р - ю т)$ $\textbf{E}=E_{0x}\hat{\textbf{x}}\cos(\textbf{k}\cdot\textbf{r}-\omega t)+E_{0y}\hat{\textbf{y}}\sin(\textbf{k}\cdot\textbf{r}-\omega t)$ представляет собой эллиптически поляризованную волну, в которой направление поля определяется выражением $загар θ "=" \frac{Е_{у}}{Е_{Икс}} "=" \frac{Е_{0 у}}{Е_{0 Икс}} загар (к \cdot р - ю т) .$ $\tan\theta=\frac{E_y}{E_x}=\frac{E_{0y}}{E_{0x}}\tan(\textbf{k}\cdot\textbf{r}-\omega t).$

-Значит, здесь поляризация определяется направлением электрического поля.

С другой стороны, состояние поляризации одиночных фотонов определяется по-другому. Один пишет $A^\mu(x)$ в терминах мод Фурье как $А^{мю} (Икс) "=" \sum_{λ "=" 0}^{3} \int \frac{г^{3} к}{(2 π)^{3 / 2} \sqrt{2 ю_{к}}} [ϵ_{λ}^{мю} а_{λ} (к) е^{- я к \cdot Икс} + ϵ_{λ}^{мю *} а_{λ}^{†} (к) е^{я к \cdot Икс}]$ $A^\mu(x)=\sum\limits_{\lambda=0}^{3}\int\frac{d^3\textbf{k}}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_k}}[\epsilon_{\lambda}^{\mu}a_{\lambda}(k) e^{-ik\cdot x}+\epsilon_{\lambda}^{\mu *}a_{\lambda}^{\dagger}(k)e^{ik\cdot x}]$ где $\epsilon^\mu$ называется поляризационным четырехвектором.

Отсюда, используя калибровочное условие Лоренца, можно показать, что для заданного направления распространения $\textbf{k}$ , $\textbf{k}\cdot\boldsymbol{\epsilon}=0$ , всего две составляющие $\epsilon^\mu$ являются независимыми. Таким образом, фотон (кванты квантованного $A^\mu$ поле) имеет два независимых состояния поляризации.

-Здесь поляризация указана в терминах $\boldsymbol{\epsilon}$ .

The $(0,1)$ и $(1,0)$ представление группы Лоренца, как говорят, соответствует $\textbf{E}\pm i\textbf{B}$ . Их также называют фотоном с левой круговой поляризацией и фотоном с правой круговой поляризацией. Что теперь дает еще одно другое определение поляризации.

-Здесь поляризация определяется с точки зрения как электрического, так и магнитного поля.

Обратите внимание, что я дал два разных и явно не связанных определения поляризации в 1 (где состояние поляризации определяется направлением электрического поля ) и 2 (где состояние поляризации определяется направлением электрического поля ). $\boldsymbol{\epsilon}$ ).

Почему определения поляризации в классической электродинамике и квантовой теории поля так различаются? Я считаю, что эти два определения связаны, но я не вижу связи.

Как определение 3 вписывается и согласуется с определением света с левой и правой круговой поляризацией, встречающимся в 1?

Ответы (1)

Задание состояния поляризации фотона, классический поляризованный пучок света и связь с E±iBE±iB\textbf{E}\pm i\textbf{B}

Имя ГГГ · Answer 1

Почему определения поляризации в классической электродинамике и квантовой теории поля так различаются? Я считаю, что эти два определения связаны, но я не вижу связи.

Обратите внимание, что в подходе КТП, указанном в Вашем вопросе, мы строим оператор поля свободных фотонов из безмассовых неприводимых представлений группы Пуанкаре со спиральностями $\pm 1$ , который является проекцией полного углового момента на направление импульса $\mathbf{k}$ . Т.е. электрическое поле одиночного фотона имеет заданную спиральность. В классической электродинамике (и фактически всегда, когда важны многофотонные взаимодействия) мы обычно говорим о поляризации электрического и магнитного полей, построенных из многих фотонов, что не то же самое, что однофотонная спиральность.

Как определение 3 вписывается и согласуется с определением света с левой и правой круговой поляризацией, встречающимся в 1?

Истинные условия для безмассового поля спиральности $+1$ является

\begin{matrix} (1) & Ф_{мю ν} "=" + я {\tilde{Ф}}_{мю ν}, \partial_{мю} Ф^{мю ν} "=" 0 \end{matrix}

$\tag 1 F_{\mu\nu} = +i\tilde{F}_{\mu\nu}, \quad \partial_{\mu}F^{\mu\nu} = 0$ а для безмассового поля спиральности

- 1

$-1$ является

\begin{matrix} (2) & Ф_{мю ν} "=" - я {\tilde{Ф}}_{мю ν}, \partial_{мю} Ф^{мю ν} "=" 0, \end{matrix}

$\tag 2 F_{\mu\nu} = -i\tilde{F}_{\mu\nu}, \quad \partial_{\mu}F^{\mu\nu} = 0,$ где

{\tilde{F}}_{μ ν} = \frac{1}{2} ϵ_{μ ν α β} F^{α β}

$\tilde{F}_{\mu\nu} =\frac{1}{2}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}F^{\alpha\beta}$ (тождество Бьянки выполняется автоматически).

Просто оказывается, что спиральность совпадает с круговой поляризацией. Вы можете доказать это, используя $(1),(2)$ . Давайте представим расширение $F_{\mu\nu} = (\mathbf{E},\mathbf{B})$ , $\tilde{F}_{\mu\nu} = (-\mathbf B, \mathbf E)$ . Мы получаем

\begin{matrix} (3) & Е_{\pm} "=" \mp я Б_{\pm}, \nabla \cdot Е_{\pm} "=" 0, \nabla \times Б_{\pm} "=" \partial_{т} Е_{\pm} \end{matrix}

$\tag 3\mathbf E_{\pm} = \mp i\mathbf{B}_{\pm}, \quad \nabla \cdot \mathbf E_{\pm} = 0, \quad \nabla \times \mathbf B_{\pm} = \partial_{t}\mathbf E_{\pm}$ Второе уравнение задает разложение по бездивергентным собственным векторам в импульсном пространстве:

Е_{\pm} (к, т) "=" е_{\pm} (к) Е_{\pm} (т), к \cdot е_{\pm} "=" 0, е_{\pm}^{*} (к) \cdot е_{\mp} (к) "=" 0, | е_{\pm} (к) |^{2} "=" 1

$\mathbf{E}_{\pm}(\mathbf k,t) = \mathbf{e}_{\pm}(\mathbf k)E_{\pm}(t), \quad \mathbf k \cdot \mathbf{e}_{\pm} = 0, \quad \mathbf e_{\pm}^{*}(\mathbf k) \cdot \mathbf e_{\mp}(\mathbf k) = 0, \quad |\mathbf{e}_{\pm}(\mathbf k)|^{2} = 1$ Далее, первое уравнение

(3)

$(3)$ вставка в третью дает (мы учли дисперсионное соотношение

ω = | k |

$\omega = |\mathbf{k}|$ )

[к \times е_{\pm} (к)] Е_{\pm} (т) "=" \mp я к е_{\pm} (к) Е_{\pm} (т)

$[\mathbf k \times \mathbf{e}_{\pm}(\mathbf k)]E_{\pm}(t) = \mp ik\mathbf{e}_{\pm}(\mathbf{k})E_{\pm}(t)$ Давайте выберем направление

k = (0, 0, k)

$\mathbf k = (0,0,k)$ , и написать

e_{+} = (a, b, 0)

$\mathbf e_{+} = (a,b,0)$ ,

e_{-} = (c, d, 0)

$\mathbf e_{-} = (c,d,0)$ . Тогда Вы получите

(б, - а, 0) Е_{+} (т) "=" - я (а, б, 0) Е_{+} (т), (г, - с, 0) Е_{-} (т) "=" + я (с, г, 0) Е_{-} (т)

$(b,-a,0)E_{+}(t)= - i(a,b,0)E_{+}(t), \quad (d, -c,0)E_{-}(t) = +i(c,d,0)E_{-}(t)$ Для произвольных функций

E_{\pm}

$E_{\pm}$ Вы получаете

б "=" - я а, г "=" + я с

$b = -ia, \quad d = +ic$ Вместе с отношением

| e_{\pm} |^{2} = 1

$|\mathbf e_{\pm}|^{2} = 1$ Вы получаете (до мнимой единицы)

е_{+} "=" \frac{1}{\sqrt{2}} (1, - я, 0), е_{-} "=" \frac{1}{\sqrt{2}} (1, я, 0)

$\mathbf{e}_{+} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -i, 0), \quad \mathbf{e}_{-} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,i,0)$ Таким образом, расширение однофотонного состояния по спиральности совпадает с расширением по круговым поляризациям.

Что вы имеете в виду в экв. (1) и ур. (2)? Стандартный электромагнитный тензор $F_{\mu\nu}$ является реальной 2-формой, а двойственные по Ходжем действительные формы действительны, записывая $F_{\mu\nu} = \mathrm{i}\tilde{F}_{\mu\nu}$ бессмысленно (как видно из определения $\tilde{F}$ вы даете - мнимому юниту никак не войти).
@ACuriousMind: я строю безмассовое неприводимое представление группы Пуанкаре со спиральностью $\lambda = \pm 1$ начиная со спиноров $A_{aa}, A_{\dot{a}\dot{a}}$ удовлетворяющие уравнениям $\partial^{а \dot{а}} А_{а б} "=" 0, А_{а б} "=" А_{б а}, λ "=" + 1,$ $\partial^{a\dot{a}}A_{ab} = 0, \quad A_{ab} = A_{ba}, \quad \lambda = +1,$ $\partial^{а \dot{б}} А_{\dot{а} \dot{б}} "=" 0, А_{\dot{а} \dot{б}} "=" А_{\dot{б} \dot{а}}, λ "=" - 1$ $\quad \partial^{a\dot{b}}A_{\dot{a}\dot{b}} = 0, \quad A_{\dot{a}\dot{b}} = A_{\dot{b}\dot{a}}, \quad \lambda = -1$ Прямая сумма спиральностей $\pm 1$ повторения $(1, 0) \oplus (0,1)$ эквивалентен действительному тензору $F_{\mu\nu}$ . Но это не тот случай, когда у нас есть только одна спиральность.
Я не верю, что это отвечает на беспокойство @ACuriousMinds. Если мы начинаем с реальных форм, мы должны оставаться с реальными формами. Если мы работаем над комплексированием группы Лоренца, мы должны потом вернуться через какое-то условие реальности. Возможно, это поправимо с идентификацией $i$ с помощью модуля псевдоскейлера через $dx$ ^ $dy$ ^ $dz$ ^ $dt$ ?
Т.е. мой вопрос в том, что здесь подразумевается, что реально-циркулярно поляризуемых полей не существует. Но в реальности мы наблюдаем круговую поляризацию, не так ли?

Задание состояния поляризации фотона, классический поляризованный пучок света и связь с E±iBE±iB\textbf{E}\pm i\textbf{B}

СРС

Ответы (1)

Имя ГГГ

Любопытный Разум

Имя ГГГ

Крейг

Крейг

Как вектор поляризации в КТП связан с поляризацией в классической электродинамике?

Как подсчитать количество мод/поляризаций гауссовой теории поля?

Разница между идеей перенормировки в квантовой и классической теориях поля

Всегда ли одиночный фотон имеет круговую поляризацию?

Каковы размеры, ширина и длина фотона?

Перенормировка массы электрона внутри кристалла

Откуда берется этот вектор поляризации?

Означает ли неполяризованный свет, что фотон находится в состоянии суперпозиции?

Угловые моменты фотона

Амплитуда состояния и ковариация оператора поля в КТП