Уравнение Шредингера описывает квантовую механику одной массивной нерелятивистской частицы. Уравнение Дирака описывает одну массивную релятивистскую частицу со спином ½. Фотон — это безмассовая релятивистская частица со спином 1.
Какое эквивалентное уравнение описывает квантовую механику одиночного фотона?
Нет квантовой механики фотона, есть только квантовая теория поля электромагнитного излучения. Причина в том, что фотоны никогда не бывают нерелятивистскими, и они могут свободно испускаться и поглощаться, следовательно, нет сохранения числа фотонов.
Тем не менее, существует направление исследований, в котором люди пытаются переинтерпретировать определенные величины электромагнитного поля в терминах волновой функции фотона, см., например, эту статью .
В этом вопросе есть небольшая путаница. В квантовой теории поля уравнения Дирака и уравнения Шредингера играют очень разные роли. Уравнение Дирака — это уравнение для поля, которое не является частицей. Эволюция частицы во времени, т. е. квантовое состояние, всегда задается уравнением Шрёдингера. Гамильтониан для этой временной эволюции записывается в терминах полей, которые сами подчиняются определенному уравнению. Итак, правильный ответ: уравнение Шредингера с гамильтонианом, заданным в терминах безмассового векторного поля, уравнение которого есть не что иное, как уравнение Максвелла.
Уравнения Максвелла, как и в классической электродинамике. Однако вам нужно будет использовать квантовую теорию поля, чтобы работать с ними.
http://en.wikipedia.org/wiki/Relativistic_wave_equations
http://en.wikipedia.org/wiki/Квантовая_электродинамика
Хотя приведенные выше ответы великолепны, я чувствовал, что в нем не хватает того, что задано в вопросе об уравнении, аналогичном уравнению Шредингера (или Дирака).
Существует величина, называемая вектором Римана-Зильберштейна ( https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Silberstein_vector#Photon_wave_function ), впервые использованная знаменитым Бернхардтом Риманом для демонстрации краткой формулировки уравнений Максвелла.
Этот «вектор» имеет вид:
Быстрый поиск в Интернете показывает, что классическая электродинамика, записанная в такой форме, может быть весьма полезна при решении задач.
В квантовой области величина, аналогичная волновой функции, может быть записана для одного фотона. Такая величина имеет вид:
Это может быть полезной величиной для изучения свойств отдельного фотона. Начните со страницы в Википедии, это на самом деле довольно интересное и полезное количество.
Общая концепция квантовой механики состоит в том, что частицы — это волны. Один из махающих руками «выводов» квантовой механики предполагает, что фаза частиц ведет себя так же, как фаза света. (см. Фейнмановские лекции по физике , том 3, глава 7-2).
Для света, который является монохроматическим (или почти монохроматическим), просто возьмите уравнения Максвелла и добавьте предположение, что один фотон не может быть частично поглощен. В большинстве случаев достаточно использовать параксиальное приближение или даже приближение плоских волн. Он работает со стандартными установками квантовой механики, такими как прибор для испытания бомб Элитцура-Вайдмана .
Для немонохронного света все гораздо сложнее. Подробнее о природе квантовой механики одного фотона: Иво Белыницкий-Бирула, О волновой функции фотона , Acta Physica Polonica 86, 97-116 (1994).
Отдельный фотон квантово-механически описывается уравнениями Максвелла, где решения считаются комплексными. Уравнения Максвелла можно записать в виде матричного уравнения Дирака, где двухкомпонентные матрицы Паули, соответствующие электронам со спином 1/2, заменены аналогичными трехкомпонентными матрицами, соответствующими фотонам со спином 1. Поскольку уравнение Дирака и соответствующее уравнение Максвелла полностью релятивистские, нет проблем с нулевой массой фотона, как это было бы для уравнения типа Шредингера. См . http://www.nist.gov/pml/div684/fcdc/upload/preprint.pdf .
Согласно анализу Вигнера, однофотонное гильбертово пространство покрывается базисом, параметризуемым энергией-импульсом на передней границе светового конуса, и спиральностью .
Однако явно лоренц-ковариантное описание в пространстве положений должно включать фиктивный продольный фотон со спиральностью, равной 0. Эта степень свободы является чисто калибровочной и разделяет. Интересно, что норма состояния теперь является положительно-полуопределенной, а не положительно-определенной, причем поперечные моды имеют положительную норму, а продольные - нулевую норму.
Есть несколько различных волн, связанных с фотоном. В КЭД фотон связан с классическим решением (4-)векторного потенциала. Векторный потенциал содержит признаки, которые не являются физическими, поскольку изменение калибровки не отражается ни на каком изменении физических свойств. Таким образом, ее роль как волновой функции может быть несколько сомнительной. Тем не менее, должна существовать волна, которая объясняет хорошо известные картины интерференции и дифракции.
Когда мы видим экран, освещенный лазерным светом, прошедшим через двойную щель, наши глаза принимают фотоны, рассеянные атомами на поверхности экрана. Атомы поглощают и излучают фотоны как квантовые электрические дипольные антенны. Это означает, что атомы чувствительны к электрическому полю. Из векторного поля, связанного с фотоном, можно рассчитать электрическое поле. Это поле не зависит от калибровки, поэтому является физическим полем. Это поле является решением уравнений Максвелла и описывает обычные интерференционные и дифракционные картины.
Мой ответ - это скорее комментарий к другим правильным ответам: вы не можете построить дельта-функцию для фотона в 3D, потому что отсутствует продольная компонента безмассового векторного поля. Но это не означает, что в однофотонном секторе нет полезной и осмысленной концепции волновой функции. Это просто специфический факт о свободном электромагнитном поле, вы в принципе не можете локализовать свет в области, меньшей характерной длины волны. Уравнения Максвелла для бесисточниковой ( соленоидальной ) составляющей поля векторного потенциала играют роль уравнения Шредингера.
Я рекомендую книгу Родни Лоудона « Квантовая теория света » как хороший источник для понимания квантового уровня описания света.
Есть хороший способ представить уравнения Максвелла с помощью двухкомпонентного спинорного формализма. Окончательное выражение действительно представляет собой волновое уравнение, но его лучше интерпретировать как полуклассический результат.
Тензор Максвелла можно разложить на антисамодуальную и самодуальную части, что представляется в спинориальной форме:
Маленькие латинские индексы — это индексы пространства-времени, а заглавные и нештрихованные — спинорные индексы. Также обратите внимание, что {a} <---> {AA'} индексы без штрихов, такие как A, принимают значение либо 0, либо 1, а для индексов со штрихами (например, A') это 0' или 1'.
Окончательное выражение для уравнения Максвелла (в единицах СГС) выглядит так:
пользователь4552