Как временная составляющая пространственно-временного интервала на пространственно-временной диаграмме связана с временной составляющей вектора энергии-импульса?

Поскольку ваш вопрос включает изменение «релятивистской кинетической энергии», может быть полезна следующая диаграмма энергии-импульса.

Сначала несколько определений.

• Мы используем быстроту $\theta$[угол Минковского между векторами, подобными будущему времени],
  где скорость равна$V=c\tanh\theta$а
  коэффициент замедления времени равен$\gamma=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-(V/c)^2}}=\cosh\theta$.
• В$(t,x)$координаты, безразмерная 4-скоростная $\hat u=(\cosh\theta,\sinh\theta)$,
  который имеет «наклон»$(V/c)=\displaystyle\frac{u_x}{u_t}=\frac{\sinh\theta}{\cosh\theta}=\tanh\theta$и
  единичная квадратная величина$\hat u\cdot\hat u=(\cosh^2\theta - \sinh^2\theta)=1$.
• 4-импульс [ или 4-вектор импульса ] частицы $$\tilde P= m\hat u = m(\cosh\theta,\sinh\theta)=(E,p),$$ который имеет времениподобную составляющую$P_t=E$называется «релятивистской энергией»
  и пространственноподобной составляющей$P_x=p$называется «релятивистским импульсом» .
  Его наклон также является скоростью.
  
  Квадратная величина$\tilde P \cdot \tilde P=(E^2-p^2)=(m\cosh\theta)^2-(m\sinh\theta)^2=m^2$есть квадрат «массы» , инвариант. На диаграмме энергии-импульса кривая постоянной массы$m$(называемая «массовой оболочкой» ) задается гиперболой. (На этой диаграмме вершина 4-импульса$\tilde P$находится на ``$m=4$массовая оболочка.'')
• « Релятивистская кинетическая энергия» (с$c$восстановлен)
  $T=mc^2(\cosh\theta-1) \equiv mc^2\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-(V/c)^2}}-1\right)\approx \left( \displaystyle\frac{1}{2}mV^2 + \frac{3}{8}\frac{m}{c^2}V^4+\frac{5}{16}\frac{m}{c^4}V^6 + \ldots \right)$.
  Его можно представить себе как отрезок на оси энергии от массовой оболочки (в$mc^2$) до кончика времениподобной ноги (в$mc^2\cosh\theta$), которая физически представляет собой часть релятивистской энергии, превышающую энергию покоя (энергию массы покоя) — следовательно, релятивистскую кинетическую энергию.

Теперь рассмотрим различные способы увеличения кинетической энергии.
Обратите внимание, важно следить за тем, как мы берем предел... сохраняется ли что-либо постоянным?

• При фиксированной массе (оставаясь на массовой оболочке)
  увеличение кинетической энергии $T_{\rm faster}$соответствует увеличению быстроты, скорости, энергии и импульса ... к краю светового конуса [но никогда не достигает его].
  Хвост сегмента кинетической энергии остается на массовой оболочке [сохраняя$m$постоянный], но кончик энергетической составляющей увеличивается.
  
• При фиксированной энергии (оставаясь на горизонтальной линии постоянной Е)
  увеличивая кинетическую энергию $T_{\rm impulsive}$соответствует увеличению быстроты, скорости и импульса, но уменьшению массы (по направлению к массе фотона).
  Кончик сегмента кинетической энергии неизменен [сохраняя$E$константа], но хвост сегмента движется вниз к массовой оболочке с меньшим значением.
  
• При фиксированном импульсе (оставаясь на вертикальной линии постоянного p)
  увеличивая кинетическую энергию $T_{\rm B}$соответствует увеличению быстроты и скорости, но уменьшению энергии и массы (по направлению к массе фотона).
  Кончик и хвост сегмента кинетической энергии движутся вниз, сохраняя при этом$p$постоянный.
  
• С фиксированной скоростью и быстротой (оставаясь на луче [постоянного V]),
  увеличивая кинетическую энергию $T_{\rm heavier}$соответствует увеличению массы, импульса и энергии... но не приближается к световому конусу.
  Кончик и хвост сегмента кинетической энергии движутся вверх, сохраняя при этом$V$постоянный.
  
• Можно также использовать другие траектории для установления пределов.

обновление:
используя соотношения в первом разделе, можно было бы записать различные величины как функцию релятивистской кинетической энергии$T$и$m$:

• $E=m\cosh\theta=m(\cosh\theta-1)+m= T+m$
• $p=m\sinh\theta=m\sqrt{\cosh^2\theta-1}=\sqrt{m^2(\cosh\theta-1)(\cosh\theta+1)}=\sqrt{T(T+2m)}$
• $m=\sqrt{E^2-p^2}$
• $v=\tanh\theta=\displaystyle\frac{p}{E}=\frac{\sqrt{T(T+2m)}}{T+m}$

Во-первых, я хотел бы отметить (как вы, возможно, уже знаете), что временная составляющая энергии не только$mc^2 +\frac{1}{2}mv^2$. Это просто классический предел энергии до первого порядка. Общая энергия продолжает увеличиваться, когда вы увеличиваете «кинетическую энергию». Теперь, чтобы ответить на ваш вопрос

если ваша кинетическая энергия велика, разве вы не должны путешествовать «меньше» во времени и «больше» в пространстве?

Нет, не следует. Это то, что интуитивно можно сформулировать как. «никакая массивная частица не может двигаться со скоростью большей, чем скорость света в вакууме». Математически говоря, вы всегда остаетесь в пределах светового конуса пространства Минковского.

Как видно из изображения, временная составляющая позиционного 4-вектора всегда больше пространственной составляющей. Кроме того, по мере увеличения пространственной составляющей 4-вектора импульса вы переходите к большей пространственной составляющей 4-вектора положения. Поскольку вектор импульса 3 равен$m\frac{dx}{dt}$, поэтому, когда вы увеличиваете пространственную составляющую позиции 4-вектора, вы приближаетесь к границе светового конуса, но никогда не покидаете ее.

Дана мировая линия$x^{\mu}$, его производная по собственным временам равна 4 скорости:

Обратите внимание, что:

Таким образом, они связаны масштабным коэффициентом,$m$.