В чем разница между общим измерением и проективным измерением?

Примечание. Внизу есть краткая сводка.

---

На самом деле это также описано в Nielsen&Chuang: вы не узнаете об общих измерениях, потому что они полностью эквивалентны проективным измерениям + эволюции унитарного времени + вспомогательным системам, которые все описаны в вашем обычном формализме КМ.

Постулат измерения

Начнем с самого начала. Давайте сначала сформулируем обычный постулат квантовой механики, какой вы ее знаете:

Постулат измерения (первый курс):

Измерения описываются проекционнозначными мерами, определяемыми спектральной мерой наблюдаемой (самосопряженным оператором). Пост-измерение представляет собой проекцию на подпространство измерения.

Теперь в дополнение к этому у нас есть куча других постулатов, в частности, у нас есть постулат о том, что квантовая эволюция управляется уравнением Шредингера, поэтому эволюция во времени является унитарной эволюцией. Все это очень хорошо, но когда вы идете в свою лабораторию, вы обнаруживаете, что это не то, что происходит.

Как указано в Nielsen & Chuang, кажется, что иногда квантовое состояние разрушается после измерений (измерение не является «измерением, не связанным с разрушением»), поэтому состояние после измерения не кажется хорошо описанным. проекцию на это собственное пространство. Но также вы обнаружите, что ваша эволюция не соответствует гамильтониану и не является унитарной. Энергия может войти в систему или выйти из нее, в зависимости от того, что вы делаете.

Это почему? Ключевая проблема, которую необходимо осознать, заключается в том, что все постулаты вашего первого курса относятся к тому, что мы называем «закрытой системой». Никто из них на самом деле не заявляет об этом требовании, но всем оно необходимо. Только в закрытой системе сохраняется энергия (во многом как в классической механике), поэтому мы можем ожидать, что эволюция во времени будет унитарной. Точно так же только в замкнутой системе можно ожидать, что измерения всегда описываются проективными измерениями.

Эволюция во времени открытых квантовых систем

Итак, как быть с открытыми квантовыми системами , т.е. системами, где помимо нашей системы$S$с гильбертовым пространством$\mathcal{H}_S$, у нас неконтролируемая среда$E$(например, в лаборатории)? Давайте рассмотрим эволюцию времени в качестве учебного примера, потому что ее гораздо легче понять с помощью классической интуиции — кстати, у нас есть та же проблема в классической механике!

В открытой системе, если мы знаем, что делает окружающая среда, мы можем назначить гильбертово пространство$\mathcal{H}_E$, вычислить гамильтониан объединенной системы$\mathcal{H}_S\otimes \mathcal{H}_E$, сделайте эволюцию во времени и отследите окружающую среду (частичная трассировка эквивалентна забыванию окружающей среды и рассмотрению только системы).$S$). Другими словами, подготовив состояние$\rho_S$системы и предполагая, что это не коррелирует с состоянием окружающей среды$\rho_E$(об этом можно поспорить), эволюционировавшее во времени состояние$\rho_S$дан кем-то

$$T(\rho)= \operatorname{tr}_E(U(\rho_S\otimes \rho_E)U^*)$$

куда$\operatorname{tr}_E$является частичным следом. Но это очень хлопотно. Мы не всегда знаем, что делает окружающая среда. Таким образом, вместо того, чтобы говорить, что открытая квантовая система является частью более крупной закрытой системы, которая претерпевает единую эволюцию во времени,$U$, мы можем напрямую указать временную эволюцию, указав$T$. Затем,$T$будет не единой временной эволюцией, а вполне положительной картой . В классической механике вы делаете то же самое: вместо того, чтобы рассматривать лагранжиан/гамильтониан всей системы, которую вы можете не знать, вы также можете попытаться рассмотреть только часть этой системы и описать ее основным уравнением (это обычно сделано в статистической механике). То же самое можно сделать в квантовой механике, т.е. с помощью основного квантового уравнения .

Итак, что я хочу возразить, так это следующее:

• Использование эволюции унитарного времени или полностью положительных карт в конечном счете одно и то же (математически).
• В лаборатории у вас всегда будет шум из окружающей среды, поэтому ваша система никогда не будет закрыта.
• Эволюции унитарного времени неуклюжи, потому что они требуют от вас полного указания среды, что может быть сложно или почти невозможно сделать, поэтому гораздо приятнее работать только с открытой системой.
• Определение полностью положительной карты позволяет вам это сделать. Следовательно, это «лучший» постулат в физическом смысле, поскольку он устраняет ключевые проблемы при применении модели в вашей лаборатории.

Измерения в открытых квантовых системах

По сути, теперь мы должны сделать то же самое для измерений, что и для эволюции унитарного времени. Как выглядят измерения, если вы ограничиваете их подсистемой?

_{[Небольшое отступление: давайте добавим еще одно осложнение: измерения на самом деле не мгновенны, некоторые из них требуют времени. Например, предположим, что у вас есть атом с тремя состояниями с разными энергиями, одно из которых очень возбуждено.$E_3$и два менее возбужденных состояния (одно может быть основным состоянием, назовем их$E_1$и$E_2$). Итак, вы знаете, что ваша система будет в одном из последних состояний. Измерив какой из них, вы можете посветить лазером с одной из двух энергий перехода в возбужденное состояние, скажем, энергия лазера равна$E_3-E_1$. Если вы получили индуцированное излучение, ваша система была в состоянии$E_1$, если вы этого не сделаете, он должен быть в$E_2$. Это, конечно, требует времени, поэтому система будет развиваться (и это не будет свободной эволюцией, потому что лазер что-то делает), так что простое измерение — это не просто проективное измерение, но мы вряд ли когда-нибудь сможем полностью отделить его от некоторое время эволюции. Часто это не проблема, иногда может быть.]}

Что произойдет, если мы это сделаем? Как выглядит измерение на подсистемах? Что ж, оказывается, точно так же, как полностью положительные карты являются ограничениями эволюции унитарного времени, POVM являются ограничениями измерений.

Вы также можете увидеть это из теоремы о расширении Наймарка : эта теорема в основном говорит нам, что каждый POVM в конечном итоге является проективным измерением, если мы учитываем некоторую среду. Так что в этом смысле подход POVM и обычные проективные измерения математически эквивалентны, если всегда учитывать среду +, возможно, некоторую дополнительную унитарную эволюцию. Однако у нас то же самое, что и выше:

Формализм POVM лучше подходит для работы, потому что он не требует, чтобы мы действительно знали или даже думали об окружающей среде. Мы можем получить наши операторы измерения из эксперимента и не беспокоиться о том, являются ли они проекциями или нет (в последнем случае система наверняка не замкнута).

Таким образом, формализм POVM не дает нам ничего нового формально и математически, но это лучший способ думать о реальных квантовых системах, которые обычно не являются закрытыми системами.

Общие измерения и новый постулат

Теперь у нас есть ПОВМ. Мы могли бы заменить наш постулат постулатом POVM, который очень хорошо охватывал бы результаты экспериментов. Так почему бы нам не сделать это? Почему Нильсен и Чуанг не делают этого?

Потому что мы на самом деле что-то потеряли: POVM был введен только для вычисления вероятностей результатов, но если мы начнем с POVM, неясно, как мы получим состояние после измерения. Очень часто нам все равно, но иногда все равно, поэтому нам следует подумать об этом еще раз (например, когда мы рассматриваем «оптимальный способ различения набора квантовых состояний», нас в данный момент не волнует состояние после измерения, поэтому POVM — это все, что нам нужно).

Эту «проблему» состояния после измерения можно решить несколькими способами, один из которых — взять POVM с операторами эффектов.$E_i$, укажите квадратный корень$M_i^*M=E$и определить общее измерение (которое, помимо того, что для каждого обобщенного измерения$\{M_m\}_m$,$E_m:=M^*M$определяет POVM, говорит вам, что формализм POVM и общих измерений математически эквивалентен ). Так вот, квадратные корни не уникальны, поэтому, чтобы говорить о состоянии после измерения, вам придется обратиться к экспериментам (или указать среду и определить там измерение, что даст вам уникальное проективное измерение на замкнутом система).

_{[Если вы хотите подумать об этом по-другому, вы можете выбрать еще один формализм, квантовые инструменты , которые, по сути, делают то же самое.]}

Итак, в конце концов, мы заменяем наш старый (закрытая система) постулат общим (открытая система) постулатом:

Постулат измерения (Nielsen&Chuang):

Измерения описываются набором операторов измерения$\{M\}_m$которые не обязательно являются проекциями, но выполняют$\sum_m M^*_mM_m=\mathbf{1}$. Состояние после измерения после измерения$m$состояние после применения$M_m$.

Из того, что я утверждал выше, не должно вызывать удивления то, что эти два постулата математически эквивалентны. Точнее, если мы дополним POVM/общие измерения эволюцией унитарного времени и введением систем окружения, любое такое измерение должно действительно исходить из проективного измерения. Это был мой оригинальный пост:

Набросок доказательства эквивалентности двух постулатов

Это описано на страницах с 94 по 95 в Nielsen & Chuang:

Позволять$\{M\}_m$быть «общим измерением» с$m=1,\ldots,n$на гильбертовом пространстве$\mathcal{H}$. Определять$U\in \mathcal{B}(\mathcal{H}\otimes \mathbb{C}^n)$(т.е.$U$является ограниченным оператором на составной системе) через определение:

$$U|\psi\rangle|0\rangle= \sum_{m=1}^n (M_m|\psi\rangle)|m\rangle$$

куда$|m\rangle$является стандартным ортонормированным базисом$\mathbb{C}^n$. Тогда вы можете показать, что$U$может быть расширен до унитарной операции$U\in \mathcal{B}(\mathcal{H}\otimes \mathbb{C}^n)$.

Теперь вы определяете проективное измерение$P$с проекциями

$$P_m:=\mathbf{1}_{\mathcal{H}}\otimes |m\rangle\langle m|$$

и что вы можете показать, так это то, что первое выступление$U$а затем измерение проективного измерения$P$и отслеживание системы$\mathbb{C}^n$(«забыть» о системе) эквивалентно выполнению обобщенного измерения$M_m$. Особенно:

$$\frac{P_m U|\psi\rangle |0\rangle}{\sqrt{\langle \psi|\langle 0|U^*P_mU|\psi\rangle|0\rangle}}= \frac{(M_m|\psi\rangle)|m\rangle}{\sqrt{\langle \psi|M_m^*M_m|\psi\rangle}}$$

и вероятности тоже складываются. Так что общие измерения ничего нового не добавляют.

О закрытых (квантовых) системах:

Мы, конечно, построили среду. Кто нам говорит, что это «реальная» физическая среда или что измерение в реальной замкнутой системе на самом деле тоже проективно? На самом деле никто. Это еще одно предположение, которое я делал неявно. Однако я считаю, что у этой системы есть еще одна более глубокая проблема: с экспериментальной/операционной стороны, что на самом деле представляет собой закрытая квантовая система? Если (возможно) мы не рассмотрим всю вселенную, мы никогда не сможем работать с полностью закрытой системой — и мы не сможем рассмотреть всю вселенную. Я считаю, что на самом деле существуют аргументы (высокоуровневые/квантовые основания), которые говорят нам, что постулаты полностью эквивалентны, если существует закрытая квантовая система, но это философия.

Но это означает, что мы добавили что-то «новое»: мы избавились от необходимости закрытых систем (если мы заменим и все остальные аксиомы).

Извлеченные уроки: (tl;dr)

Итак, в чем суть? Я утверждал, что в обобщенных измерениях нет ничего нового ни физически, ни математически, если мы знаем о разнице между открытыми и закрытыми квантовыми системами. Поэтому они не добавляют ничего, что вы уже не получили из старого формализма, так что ваш курс квантовой механики 101 не будет ошибочным (за исключением проблем с определением «замкнутых квантовых систем»).

Тем не менее, POVM (или, возможно, общие измерения) — это «правильный» способ думать об измерениях. Парадигма открытых квантовых систем, которая очень важна для экспериментов в реальном мире, неотъемлемо встроена в POVM, и они также говорят нам, почему иногда измерения кажутся невоспроизводимыми в лаборатории. Таким образом, POVM — это не какая-то теоретическая конструкция, плавающая в пространстве философии (закрытые квантовые системы), а скорее операциональные описания измерений. Кроме того, с ними лучше работать при описании реальных ситуаций.

И последнее замечание: общие измерения не рассматриваются в литературе. Питер Шор был так любезен, что указал на (старый) пример их использования в статье Peres, Wooters (платный доступ!). Однако обычно я обнаруживаю, что люди работают с POVM, а не с общими измерениями.