Как вывести теорему Нётер, если действие объединяет киральное, антикиральное и полное суперпространство?

Полные суперпространственные термины являются «наиболее общими», но вы также можете преобразовать киральные и антихиральные термины в полную суперпространственную форму. В частности,

$$\int d^2\bar\theta = \int d^2\theta\, d^2 \bar\theta\, \theta_1\theta_2$$ и аналогично для его комплексного сопряжения. Извините, если знак неправильный. Обратите внимание, что $\theta_1\theta_2$может быть записано как $\epsilon^{ab}\theta_a \theta_b/2$до знака, если вас раздражают явные компоненты.

Тот факт, что киральные суперполя зависят только от$\theta$но нет$\bar\theta$не имеет значения: это просто означает, что это более ограниченное поле. Но вы все равно можете представить, что это функция полного суперпространства, которое просто имеет особую форму.

Как только вы преобразуете действие в интеграл по полному суперпространству, вы можете действовать так же, как и для полного суперпространства, с терминами, подобными D. На самом деле я немного не знаком с этой вещью, поэтому я бы преобразовал действие в компоненты (вообще без суперпространства) и действовал так же, как в несуперсимметричных теориях. Конечно, результирующие сохраняющиеся величины не будут хорошо организованы в супермультиплеты, которыми они могут быть в суперсимметричной теории.

Вы можете думать об обобщенном внутреннем продукте, где термины интегрируются в «правильное» суперпространство. На мой взгляд, лучший способ получения пропагаторов для киральных полей. Это намного чище, чем поднимать все до полного суперпространства.

Пример этого встречается в разделе 4.8 книги « Идеи и методы суперсимметрии и супергравитации» и, возможно, в других статьях авторов. В этом разделе используются только киральные и антикиральные пространства, но его можно обобщить, включив в него полный сектор суперпространства.

После того, как вы установили свои соглашения для этого типа внутреннего продукта, все в основном работает так, как вы ожидаете.