Как вывести уравнение состояния космических струн и доменных стенок?

Моя космология топологических дефектов немного заржавела, но я почти уверен, что дело обстоит именно так. Начните с уравнения жидкости,

$$\dot{\rho} + 3 {\dot{a} \over a} \left( \rho + p \right) = 0,$$ и уравнение состояния, $$p = w \rho.$$ Подставьте уравнение состояния к уравнению жидкости, примите постоянную $w$, и вы найдете $$\rho \propto a^{-3(1 + w)}.$$ Теперь мы найдем $\rho(a)$для строк и листов, и читать $w$от них. Для космических струн $\rho$является $$\rho_{\rm string} = \sum^N_i {\lambda L_i \over V},$$ куда $N$это количество струн в нашем космическом горизонте, $\lambda$- линейная плотность струн, а $L_i$длина каждой строки.

Вот ключ: мы должны предположить, что длина любых космических струн зависит от расширения Вселенной , поскольку они являются топологическими дефектами. С учетом этого предположения можно получить зависимость$\rho_{\rm string}$на$a$:

$$\rho_{\rm string}(a) \propto {a \over a^3} = a^{-2}.$$ Таким образом, $$2 = 3(1 + w_{\rm string}),$$ и $w_{\rm string} = -{1 \over 3}$.

Аналогично, для доменных стенок$\rho$является

$$\rho_{\rm wall} = \sum^N_i {\sigma A_i \over V},$$ и с тех пор $A_i \propto a^2$, мы получили $w_{\rm wall} = -{2 \over 3}$.

Надеюсь, это поможет!