Как я могу интерпретировать или математически формализовать пространство-время Максвелла, Лейбница и Маха?

Я опишу математическую структуру наиболее распространенных классических пространств-времен, галилеева и ньютонова. Это описание может дать вам достаточно аргументов, чтобы расширить его на другие классические пространства-времени.

Галилеево пространство-время — это кортеж $(\mathbb{R}^4,t_{ab},h^{ab},\nabla)$где$t_{ab}$(временная метрика) и$h^{ab}$(пространственная метрика) — тензорные поля и$\nabla$— оператор производной по координате, задающий геодезические траектории.

Единая метрика не работает, потому что скорость света бесконечна, поэтому время и пространство следует рассматривать отдельно с помощью временной метрики:

$$t_{ab}=(\text{d}_a t)(\text{d}_b t)$$

и пространственная метрика:

$$h^{ab}=\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\right)^a\left(\dfrac{\partial}{\partial x}\right)^b+ \left(\dfrac{\partial}{\partial y}\right)^a\left(\dfrac{\partial}{\partial y}\right)^b+ \left(\dfrac{\partial}{\partial z}\right)^a\left(\dfrac{\partial}{\partial z}\right)^b$$

они по существу переводятся в

$$t'=t$$ $$\text{d}\mathbf{r}'^2=\text{d}\mathbf{r}^2$$

Окончательно,$\nabla$на$\mathbb{R}^4$— единственный оператор плоской производной, который для каждой координаты$x^i$удовлетворяет:

$$\nabla_a\left(\dfrac{\partial}{\partial x^i}\right)^b=\mathbf{0}$$

В то время как пространство галилеевых 4-координат не является евклидовым пространством, пространство галилеевых скоростей является евклидовым пространством. Дифференцирование преобразования Галилея (для простоты в двух измерениях):

$$t'=t$$ $$x'=x-vt$$

мы получаем$\text{d}t'=\text{d}t$и поэтому

$$\dfrac{\text{d}x'}{\text{d}t'}=\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}-v$$

Если$v_R=\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}$это скорость тела при наблюдении из системы отсчета$R$и$v_{R'}=\dfrac{\text{d}x'}{\text{d}t'}$- скорость тела, наблюдаемая из системы отсчета$R'$, то результат обнаруживает евклидову симметрию

$$v_R=v_{R'}+v_{R'R}$$

В свою очередь, ньютоновское пространство-время представляет собой кортеж с дополнительной структурой$(\mathbb{R}^4,t_{ab},h^{ab},\nabla,\lambda^a)$где$\lambda^a$это поле, которое добавляет предпочтительный кадр покоя:

$$\lambda^a=\left(\dfrac{\partial}{\partial t}\right)^a$$

Выбор Галилея — это относительность, но преобразование Галилея несовместимо с уравнениями Максвелла. Чтобы решить эту проблему, Ньютон добавляет предпочтительную систему покоя, которую можно рассматривать как структуру эфира. Этот подход позволяет добавить к механике электромагнетизм, нарушив принцип относительности для электромагнетизма.

Поскольку все классические пространства-времени имеют отдельные метрики времени и пространства, каждое пространство-время можно описать как аналогичный кортеж с дополнительными структурами, подходящими для каждого варианта.