Интуитивное понимание ракетной проблемы [закрыто]

Для такого рода задач часто стоит набросать график зависимости скорости от времени.

Ограничения заключаются в том, что ракета должна лететь$20$м, разгонится на$1$РС$^{-2}$и с двигателем на ракете будет снижаться с постоянной скоростью.
Таким образом, хитрость заключается в том, чтобы заставить ракету упасть как можно ниже, когда ее двигатель включен, как показано на диаграмме ниже.

Итак, уравнение, которое нужно решить,$\frac 1 2 t^2 +2t =20 \Rightarrow t \approx 4.63$с

Если вы поместите этот прямоугольник с постоянной скоростью где-нибудь еще, расстояние, пройденное с постоянной скоростью, будет меньше, и поэтому расстояние, пройденное с ускорением, будет больше.
Таким образом, больше времени будет потрачено на ускорение, и поэтому скорость приземления будет больше.

Можно использовать закон сохранения энергии, чтобы понять, что здесь происходит. Но простые аргументы вроде «химическая энергия противостоит гравитации» не помогут.

Итак, топливо сгорело, выделяется его химическая энергия. Количество выделяемой энергии одинаково независимо от того, было ли сожжено топливо в начале или в конце полета. Куда ушла эта энергия?

1. газ, выбрасываемый ракетой, нагревается:$E_1$

2. кинетическая энергия газа изменилась:$E_2$

3. кинетическая энергия ракеты изменилась:$E_3$

Мы хотим сделать$E_3$как можно меньше (хорошо было бы сделать его отрицательным: это означало бы, что кинетическая энергия ракеты уменьшилась).

$E_1$не зависит от того, когда было сожжено топливо.

Так что единственный способ уменьшить$E_3$заключается в увеличении$E_2$как можно больше. То есть максимально увеличить кинетическую энергию выходящего газа. Зависит ли кинетическая энергия газа от чего-нибудь? Оно делает.

Ракетные двигатели выбрасывают газ с некоторой скоростью$V$. Если скорость ракеты$v$чем изменение кинетической энергии газов:

Видеть? Чем больше скорость$v$ракеты, тем больше кинетической энергии получает газ, когда двигатели ракеты бросают его вперед с дополнительной скоростью$V$!

Таким образом, если ракета сжигает топливо в конце полета, когда ее скорость максимальна, кинетическая энергия газа максимальна. А кинетическая энергия ракеты сведена к минимуму.

Насколько я понимаю, двигатели обеспечивают тягу, равную весу ракеты, поэтому запуск их может только свести к нулю результирующую силу на ракете в течение$2$секунд, а значит ракета не будет разгоняться за$2$секунды. Итак, двигатели должны быть запущены в$2$секунды до приземления.

По моим расчетам высота должна быть$9.26\,\rm m$(поправьте меня, если я ошибаюсь). Также обратите внимание, что скорость в этой точке будет$4.63\,\rm m/s$. Скорость удара не может быть равна нулю ни в коем случае. Скорость удара могла бы быть нулевой, если бы обеспечиваемая тяга превышала вес ракеты.

Кроме того, в реалистичном сценарии скорость удара может быть равна нулю, поскольку вес ракеты уменьшится по мере израсходования топлива.

Чтобы свести к минимуму скорость удара, есть два способа подумать об этом:

1. Вы хотите максимизировать работу, проделанную над ракетой:

   $$\mathrm{Work = Force \times Distance}$$

2. Вам нужно свести к минимуму время, затрачиваемое на падение.

Вы правы, что полная энергия всегда будет сохраняться. Но в этом типе задач вам не дается фиксированное количество энергии для использования, вместо этого вам дается фиксированное количество импульса (сила, умноженная на время). По сути, эффективность (насколько изменяется энергия, которую она производит) ракеты меняется в зависимости от того, когда она используется. Если ракета используется при быстром движении корабля ($v$большой), то он работает более эффективно, чтобы замедлить корабль.

Предполагая, что цель состоит в том, чтобы свести к минимуму скорость удара, вам следует рассчитать время горения так, чтобы оно закончилось, когда вы приземлились.

Почему? потому что все время, пока вы находитесь в полете, вы набираете скорость за счет гравитации. Более раннее сжигание продлевает ваш полет и, таким образом, увеличивает вашу скорость удара.