Как я могу воспроизвести этот эффект массы-пружины? [закрыто]

Основываясь исключительно на просмотре нескольких секунд видео, не копаясь во внутренностях программного обеспечения, кажется правдоподобным, что мяч движется по экрану в соответствии с уравнениями движения для невынужденного двумерного затухающего гармонического осциллятора. Сдача$x$и$y$– координаты шара, а$(x_{\rm eq},y_{\rm eq})$быть положением равновесия пружины (которое, как вы сказали, является положением, в котором ваш палец касается экрана), уравнения движения

$$\begin{eqnarray} m \ddot{x} + \gamma \dot{x} + k (x-x_{\rm eq}) = 0 \\ m \ddot{y} + \gamma \dot{y} + k (y-y_{\rm eq}) = 0 \\ \end{eqnarray}$$ где$m$это масса мяча,$\gamma$- коэффициент, описывающий силу трения, и$k$- пружинная постоянная. Все эти три параметра должны быть настраиваемыми в коде. Пример в видео выглядит так, как будто он был передемпфирован, что означает, что$\gamma^2>4 m k$. ( В гиперфизике есть хорошее описание различных режимов поведения затухающего гармонического осциллятора)

Также необходимо указать начальные условия. Я предполагаю, что когда вы нажимаете на экран, симулятор решает приведенные выше уравнения с положением равновесия$(x_{\rm eq}, y_{\rm eq})$является положением вашего пальца, а начальное положение и скорость — положением и скоростью мяча в момент касания экрана.

Наконец, последний ингредиент, который нам нужен, — это граничные условия, чтобы сказать, что делает мяч, когда он достигает края экрана. Я подозреваю, что код использует отражающие граничные условия, поэтому, например, в момент, когда$x$координата достигает минимального или максимального допустимого значения$x$, скорость в$x$знак изменения направления.

Чтобы на самом деле закодировать это, в общем случае вы можете использовать стандартные алгоритмы для интегрирования дифференциальных уравнений, такие как метод Рунге-Кутты . Или реализации этих методов на любом языке программирования, который вы используете. Для этой конкретной задачи, которая является линейной, вы можете использовать аналитическое решение (явную формулу, которая дает движение), например, см. Уравнение 72 заметок о волнах и колебаниях Ричарда Фицпатрика.

$$\begin{eqnarray} x(t) &=& A e^{-\gamma t/2} \cos(\omega t - \phi) \\ y(t) &=& B e^{-\gamma t/2} \cos(\omega t - \psi) \\ \end{eqnarray}$$ где$\omega=\sqrt{k/m}$и где$A, B, \phi, \psi$константы, выбранные для удовлетворения начальных условий (а именно, что начальное положение$(x(0), y(0))$и начальная скорость$(\dot{x}(0),\dot{y}(0))$соответствовать положению и скорости мяча в момент касания экрана).