Какая связь между (физиками) функциональными производными и производными Фреше

Question

Какая связь между (физиками) функциональными производными и производными Фреше

Физика
дифференциация
математическая физика
вариационное исчисление
функциональные производные

Forever_a_Newcomer

Мне интересно, как можно добраться до определения функциональной производной, которое можно найти в большинстве книг по квантовой теории поля:

\frac{дельта Ф [ф (Икс)]}{дельта ф (у)} знак равно \underset{ϵ \to 0}{лим} \frac{Ф [ф (Икс) + ϵ дельта (Икс - у)] - Ф [ф (Икс)]}{ϵ}

$\frac{\delta F[f(x)]}{\delta f(y) } = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{F[f(x)+\epsilon \delta(x-y)]-F[f(x)]}{\epsilon}$

из определений функциональных производных, используемых математиками (я видел много заявлений о том, что это, по сути, производная Фреше, но никаких доказательств). В статье в Википедии говорится, что это всего лишь вопрос использования дельта-функции в качестве «тестовой функции», но затем говорится, что это ерунда.

Откуда это $\delta(x-y)$ происходит от?

Хорхе Лавин

Жду фактического ответа, но обратите внимание, что дельта Дирака исходит из того факта, что

F [x]

$F[x]$ это функционал, применяемый к функции

x

$x$ а функциональная производная по функции

y

$y$

Ответы (4)

Какая связь между (физиками) функциональными производными и производными Фреше

Жду фактического ответа, но обратите внимание, что дельта Дирака исходит из того факта, что $F[x]$ это функционал, применяемый к функции $x$ а функциональная производная по функции $y$

Костя · Answer 1

Всякий раз, когда у меня возникают проблемы с функциональными производными вещами, я просто заменяю непрерывную переменную $x$ в дискретный индекс $i$ . Если я не ошибаюсь, это то, что они называют " обозначением ДеВитта ".

Идея отказа от рук заключается в том, что вы можете придумать функциональный $F[f(x)]$ как «обычная функция» многих переменных $F(f_{-N},\cdots,f_0,f_1,f_2,\cdots,f_N) = F(\vec{f})$ с $N$ переход к «непрерывной бесконечности».

На этом языке ваша функциональная производная преобразуется в частную производную по одной из переменных:

\frac{дельта Ф}{дельта ф (Икс)} \to \frac{\partial Ф}{\partial ф_{я}}

$\frac{\delta F}{\delta f(x)} \to \frac{\partial F}{\partial f_i}$ А дельта-функция — это обычная дельта Кронекера:

дельта (Икс - у) \to {дельта}_{я Дж}

$\delta(x-y) \to \delta_{ij}$

Итак, собирая это мы для вашего выражения:

\frac{дельта Ф}{дельта ф (Икс)} знак равно \underset{ϵ \to \infty}{лим} \frac{Ф [ф (Икс) + ϵ дельта (Икс - у)] - Ф [ф (Икс)]}{ϵ} \to

$\frac{\delta F}{\delta f(x)} = \lim_{\epsilon\to\infty}\frac{F[f(x)+\epsilon\delta(x-y)]-F[f(x)]}{\epsilon} \to$

\frac{\partial Ф}{\partial ф_{Дж}} знак равно \underset{ϵ \to \infty}{лим} \frac{Ф [ф_{я} + ϵ {дельта}_{я Дж}] - Ф [ф_{я}]}{ϵ}

$\frac{\partial F}{\partial f_j} = \lim_{\epsilon\to\infty}\frac{F[f_i+\epsilon\delta_{ij}]-F[f_i]}{\epsilon}$ Что, на мой взгляд, несколько избыточно. Но правда.

Рон Маймон · Answer 2

Это формальное обозначение для следующей общей вещи:

Ф (ф + дельта ф) знак равно Ф (ф) + \int А (Икс) дельта ф (Икс)

$F(f+\delta f) = F(f) + \int A(x) \delta f(x)$

Где $\delta f$ — бесконечно малое изменение f, и это — гладкая тестовая функция, а затем в правой части, $A(x)$ есть просто линейный оператор на пространстве функций. Обозначение для $A(x)$ затем

А (Икс) знак равно \frac{дельта Ф}{дельта ф (Икс)}

$A(x) = {\delta F\over \delta f(x)}$

Потому что если вы формально подставляете $\delta f(x) = \delta(x-y)$ , ты ищешь $A(y)$ как значение интеграла. Это просто условный трюк --- $\delta f$ — всюду малая вариация, что невозможно, если она бесконечна в одной точке. Другой способ сказать это состоит в том, что предел точечной дельта-функции должен быть взят после малого предела эпсилон в вашем определении, так что вариация становится малой, прежде чем она станет бесконечно концентрированной.

пользователь1504 · Answer 3

пользователь1504

Обозначение производной физики обозначает компоненты производной Фреше в направлении дельта-функции, поддерживаемой в точке $y$ .

Это одно из тех мест, где привычка обозначать функцию $f$ по его стоимости $f(x)$ становится запутанным. Будет несколько понятнее, если вы напишете $\delta_y$ для дельта-функции при $y$ , а также

\frac{дельта Ф}{дельта ({дельта}_{у})} [ф] знак равно \underset{ϵ \to 0}{лим} \frac{1}{ϵ} (Ф [ф + ϵ {дельта}_{у}] - Ф [ф]) .

$\frac{\delta F}{\delta (\delta_y)}[f] = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon} ( F[f + \epsilon \delta_y] - F[f]).$

Очевидно, что дельта-функция на самом деле не является функцией. Но такое его использование имеет ровно такой же смысл, как и позиционный базис (и последний можно сделать совершенно строгим, используя оснащенные гильбертовы пространства).

Forever_a_Newcomer

Это именно моя проблема с этим определением (кроме тонкостей дельты Дирака). Кажется, вы определяете частную производную в определенном направлении

δ_{y}

$\delta_y$ , но именно это определение используется везде как частная производная по любому направлению (они все одинаковые?). Другой способ выразить мою проблему: действительно ли первое равенство ниже? Почему? (Я пытался следовать вашим обозначениям,

f_{y}

$f_y$ означает f, рассчитанное в точке

y

$y$ ):

\frac{дельта Ф}{дельта (ф_{у})} [ф] знак равно \frac{дельта Ф}{дельта ({дельта}_{у})} [ф] знак равно \underset{ϵ \to 0}{лим} \frac{1}{ϵ} (Ф [ф + ϵ {дельта}_{у}] - Ф [ф]) .

$\frac{\delta F}{\delta (f_y)}[f] = \frac{\delta F}{\delta (\delta_y)}[f] = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon} ( F[f + \epsilon \delta_y] - F[f]).$

пользователь1504

Определение работает для любой функции. Вы определяете производную от

F

$F$ в

f

$f$ в направлении

f + g

$f+g$ для любой функции

g

$g$ быть

\frac{δ F}{δ g} = lim_{ϵ \to 0} \frac{1}{ϵ} (F [f + ϵ g] - F [f])

$\frac{\delta F}{\delta g} = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon} (F[f+\epsilon g] - F[f])$ . Это точно так же, как в многомерном исчислении; это говорит вам, как

F

$F$ меняется на первый порядок, если вы переходите от

f

$f$ в направлении

f + g

$f+g$ . Особый вырожденный случай

g = δ_{y}

$g = \delta_y$ расскажет вам, как

F

$F$ изменится, если вы измените

f

$f$ только путем изменения его значения в

y

$y$ . Это источник сумасшедших физических обозначений.

пользователь1504

Также, пожалуйста, не используйте обозначение

f_{y}

$f_y$ за

f (y)

$f(y)$ ; это не делает мир лучше.

f (y)

$f(y)$ является значением функции.

δ_{y}

$\delta_y$ (что, похоже, вас вдохновило) — это распределение, отличное от нуля только при

y

$y$ . Если это поможет, вы можете себе представить, что, когда физики пишут

f (y)

$f(y)$ в знаменателе функциональной производной фактически берут производную по "координате"

f \mapsto f (y)

$f \mapsto f(y)$ .

Джастин Рэтнер · Answer 4

Пусть определение функциональной производной будет

\int \frac{дельта Ф}{дельта р (Икс)} ф (Икс) д Икс знак равно \underset{ϵ \to 0}{лим} \frac{Ф [р + ϵ ф] - Ф [р]}{ϵ}

$\int \frac{\delta F}{\delta \rho(x)} \phi(x) dx = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{F[\rho + \epsilon \phi] - F[\rho]}{\epsilon}$

Выбирать

ф (Икс) знак равно дельта (Икс - у)

$\phi(x) = \delta(x-y)$

И завершите интеграцию с левой стороны

\int \frac{дельта Ф}{дельта р (Икс)} дельта (Икс - у) д Икс знак равно \frac{дельта Ф}{дельта р (у)} знак равно \underset{ϵ \to 0}{лим} \frac{Ф [р + ϵ дельта (Икс - у)] - Ф [р]}{ϵ}

$\int \frac{\delta F}{\delta \rho(x)}\delta(x-y) dx = \frac{\delta F}{\delta \rho(y)} = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{F[\rho + \epsilon \delta(x-y)] - F[\rho]}{\epsilon}$

Пусть физик выбирает функцию под интегралом, и он каждый раз будет выбирать дельта-функцию.

Какая связь между (физиками) функциональными производными и производными Фреше

Forever_a_Newcomer

Хорхе Лавин

Ответы (4)

Костя

Рон Маймон

пользователь1504

Forever_a_Newcomer

пользователь1504

пользователь1504

Джастин Рэтнер

Как найти производную функции (δ/δϕ)(∂µϕ)(δ/δϕ)(∂µϕ)(\delta/\delta \phi) (\partial_\mu \phi)?

Вывод дробных уравнений

Удовлетворяет ли вариация лагранжиана правилу произведения и цепному правилу производной?

Использовать частные или ковариантные производные при выводе уравнений теории поля?

Почему в принципе действия ряд Тейлора ограничен первым порядком?

Как вычислить обратную дельта-функцию Дирака?

В чем математический смысл следующего выражения C=δQdTC=δQdTC=\frac{\delta Q}{dT}?

Определение лагранжиана в (классической) теории поля

Вывод уравнений Эйлера-Лагранжа

Строгое определение вариации