Вывод дробных уравнений

Недавно я увидел некоторые физические задачи, которые можно смоделировать уравнениями с дробными производными, и у меня возникли некоторые сомнения: можно ли написать действие, приводящее к уравнению с дробными производными? Например, рассмотрим гипотетическую физическую систему с принципом наименьшего действия. Существует ли «волновое уравнение» с производной по времени 3 / 2 ? Имеет ли смысл такой вопрос?

Из любопытства, какие физические проблемы решаются таким образом?
@Spencer Я впервые увидел аномальную диффузию. Вы можете увидеть здесь, например: pfi.uem.br/mfi/disserta_teses/teses_pdf/… (на португальском языке). Это исследование системы, управляемой немарковским уравнением Фоккера-Планка, которое связано с гребенчатой ​​моделью.
Силы, пропорциональные скорости, такие как трение, например, могут быть описаны дробными производными в лагранжиане.
Вот книга, над которой наша группа много работала: Metzler, R. (2000). Руководство случайного блуждания по аномальной диффузии: подход дробной динамики. Отчеты по физике, 339 (1), 1–77. doi:10.1016/S0370-1573(00)00070-3 . Это отличное введение в тему. Должен быть доступен препринт arxiv, но у меня нет под рукой номера.

Ответы (2)

Дробные производные нелокальны, но действия обычно предполагаются локальными.

локальность или нелокальность лагранжевой плотности зависит от высшего порядка производных в ее различных членах. Термины с производной до второго порядка (например, кинетические термины) являются локальными. Члены с производными порядка 3 и выше нелокальны, причем степень нелокальности измеряется порядком. Таким образом, нелокальный член в действии не означает, что вариационная задача плохо определена. И почему дробные производные нелокальны? Еще лучше, что такое дробная производная? Спасибо.
Уважаемый @space_cadet, нет, то, что вы пишете, неверно. КГР прав в том, что всякий раз, когда появляются дробные производные, действие нелокально. Достаточно появления каких-то термов, независимо от того, ведущие они или нет, и действие должно быть нелокальным. В конце своего ответа вы признаете, что на самом деле не знаете, почему они нелокальны. Ну, это потому, что вы можете написать ∂ т к в качестве Е к в энергетическом представлении с преобразованием Фурье и преобразование оператора Е к назад к т базис нелокальный.
@space_cadet небрежный физик думает здесь, но я думаю, что это можно сделать точным: представьте, что вы берете ряд Тейлора дробной производной - он должен идти в бесконечном порядке, и поэтому он будет очень нелокальным.
@space_cadet, дробная производная - это простой пример «псевдодифференциального оператора». Это оператор, который можно легко определить, например, с помощью преобразования Фурье (как сказал Любош Мотл). Вы можете определить оператор, который в преобразовании Фурье эквивалентен грех ⁡ к ... Производная дроби проще, в преобразовании Фурье - это умножение для вашей переменной преобразования к с дробным показателем ;-)
@Boy, @genneth - спасибо. @Lubos, все, что я имел в виду, это то, что, насколько я знаю, использование неместных терминов довольно распространено, например. теории гравитации с высшими производными. Таким образом, нелокальность не должна быть препятствием для действия с дробными производными, как, по-видимому, предполагает @QGR.

Когда я увидел дробные производные, я предположил, что единственное место, где они возникают естественным образом, — это физические ситуации, в которых существует дробная зависимость от времени.

Например, случайные блуждания обычно приводят к перемещению, пропорциональному т . Погуглив «дробное + производное + случайное + блуждание» на arxiv.org, вы найдете несколько статей, в которых это исследуется:

http://www.google.com/search?q=fractional+derivative+random+walk+site%3Aarxiv.org

Поэтому мне интересно, есть ли способ связать некоторые диффузионные версии КМ с дробными производными.

Именно это действительно сделано здесь .
Вывод дробных уравнений
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v