Какие фундаментальные причины предполагают квантование?

1) «Когда квантовая волновая функция находится в потенциальной яме, что вызывает квантование? Конечность ямы или только член с ℏ в уравнении Шредингера?»

Для квантовой конечной потенциальной ямы дискретные возможные значения для$E_n \sim \hbar ^2 v_n$где$v_n$являются дискретными решениями нетривиальных уравнений из-за граничных условий (подробности см. В ссылке на Википедию выше). Непосредственно в формуле видно, что и уравнение Шредингера (то есть квантовая механика и$\hbar$), а граничные условия необходимы, чтобы иметь дискретные значения для$E_n$

2) Есть ли аналогия между этими двумя подходами? Является ли уравнение Шредингера в основном следствием своего рода граничного условия, которое придает значение постоянной Планка ℏ?

Нет, это не из-за пограничных условий.

Основой квантовой механики является то, что положение и импульс больше не являются коммутативными величинами, а являются линейными операторами (бесконечными матрицами), такими, что в то же время$[X^i,P_j]= \delta^i_j ~\hbar$.

Теперь у вас могут быть разные представления для этих операторов.

В представлении Шредингера мы считаем, что эти линейные операторы применимы к векторам$|\psi(t)\rangle$(называемые состояниями). Амплитуда вероятности$\psi(x,t)$координата вектора$|\psi(t)\rangle$в основе$|x\rangle$. В этом представлении у вас есть$X^i\psi(x,t) = x^i\psi(x,t), P_i\psi(x,t) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x^i}\psi(x,t)$. Это распространяется и на энергию, т.$E\psi(x,t) = i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t)$. Это последнее равенство согласуется с определением оператора импульса, если мы посмотрим на волны де Бройля

3) Можно получить аналог уравнения Шрёдингера, если пространство дискретно . Можно ли вывести уравнение Шредингера из такого описания пространства и времени?

В приведенной вами ссылке нет ни дискретного пространства, ни дискретного времени, т.$\psi_i(t)$только координаты вектора$|\psi(t)\rangle$в какой-то основе$|i\rangle$

Что ж, для меня это звучит немного противоречиво, когда я слышу «причины подразумевают».

Кроме того, вы задали очень сложный вопрос.

В квантовой механике квантование получается из уравнения Шредингера, которое, насколько мне известно, является постулатом. Это не требует потенциального колодца.

Да, но это не появилось на ровном месте. Как и большинство постулатов, оно пришло после того, как увидело, что оно действительно в конкретном случае: волны Шредингера. Настоящим великим открытием является гипотеза де Бройля. Уравнение Шрёдингера — это волновое уравнение волны с групповой скоростью, удвоенной фазовой скоростью (+ экспериментальные данные для констант). Постулат является обобщением для любого кета.

Когда квантовая волновая функция находится в потенциальной яме, что вызывает квантование? Конечность колодца или только член с ℏℏ в уравнении Шредингера?

В результате частица со спином 0 на самом деле ведет себя как волновой пакет в потенциальной яме и создает стационарные волны.

Подведем итоги, чтобы было понятнее. Хотя постулаты прекрасно работают, мне нравится помнить, откуда все взялось. Великой идеей был корпускулярно-волновой дуализм. Уравнение Шредингера аналогично волновому уравнению любой волны, групповая скорость которой составляет половину фазовой скорости. Единственная разница заключается в значении констант.

Эти константы были найдены экспериментально в различных экспериментах с необычайным совпадением (черное тело, фотоэлектрический и комптоновский эффекты...).

Таким образом, постулат просто обобщает это на любой кет, а не только на эквивалент нулевой волновой функции.

Я полагаю, что самый простой ответ заключается в том, что экспериментально это то, что наблюдается в природе. постоянная Планка,$h$, был «открыт» Максом Планком при изучении излучения абсолютно черного тела. В то время для предсказания этого явления использовались два разных уравнения (приближение Рэли-Джинса и Вина). Оба были очень точными для определенного интервала длин волн и резко отличались от того, что было обнаружено в экспериментах для других.$h$была просто константой, которую он использовал, чтобы теоретическая кривая «соответствовала» фактическим данным. Отношение$E=hf$был введен Эйнштейном для объяснения фотоэффекта. Точно так же в этом случае волновая теория света сделала предсказания, несовместимые с тем, что наблюдалось экспериментально. Предполагая, что свет также является частицей, но с волнообразными характеристиками (называемой фотоном), он смог это объяснить. В частности, если предположить, что электрон, поглощающий один фотон света, увеличивает свою энергию на величину, равную$E=hf$, предсказанное поведение системы полностью соответствовало экспериментальным данным. Для потенциальной ямы Математически квантование является результатом синусоидального характера уравнений Шредингера и граничных условий. Уравнение Шредингера имеет тот же вид, что и общее волновое уравнение. Он возвращает волну с длиной волны$\lambda = h/mv$, называемая длиной волны де Бройля. Когда вы дергаете струну, допустимы только определенные длины волн. Это связано с тем, что граничные условия на краях струны требуют, чтобы оба конца были неподвижны. Точно так же и в потенциальной яме. Грубо говоря, вы можете думать о частице, создающей стоячую волну между стенками, а граничные условия допускают только определенные длины волн. Каждая длина волны соответствует разной энергии, что означает, что разрешены только определенные энергии.

Также, Фред, к вам вопрос об операторе импульса. Это рассуждение. Решение уравнения Шредингера имеет вид$\psi = e^{ikx}$

куда$k = 2\pi/ \lambda = 2\pi \bigg/ (h/p) = p \bigg/ (h/2\pi) = p/\hbar$

Мы хотим, чтобы собственное значение оператора импульса было импульсом. Так

$d\psi /dx = d/dx(e^{ikx}) = ike^{ikx} = ik\psi = \frac{ip}{\hbar} \psi$

и, следовательно:

Особенно