1D Infinite Square Box Дискретные уровни энергии, но непрерывный импульс?

Оператор импульса$P$в бесконечной яме можно определить как самосопряженный оператор бесконечным числом способов относительно граничных условий:

$$P_\theta=-i\hbar\frac{d}{dx}\\ \mathcal{D}(P_\theta)=\left\{\psi\in \mathcal{H}^1[0,a]:\psi(a)=e^{i\theta}\psi(0)\right\},$$ где $\mathcal{H}^1[0,a]$есть пространство Соболева , на отрезке $[0,a]$. В любом случае спектр является чисто дискретным, что можно увидеть, решив уравнение на собственные значения $$P_\theta\psi_n=\lambda_{\theta,n}\psi_n$$ Уравнение дает собственные значения $$\lambda_{\theta,n}=\frac{2\pi\hbar}{a}\left(n+\frac{\theta}{2\pi}\right), \qquad n\in\Bbb{Z},$$ с собственными функциями $$\psi_n(x)=\frac{1}{\sqrt a}\exp\left(\frac{i\lambda_{\theta,n}x}{\hbar}\right),$$ что составляет основу гильбертова пространства $\mathcal{H}=L^2[0,a]$.

Изменить: что касается комментариев, рассмотрение бесконечной скважины как предельной процедуры конечной скважины приводит к граничным условиям на гамильтониане, которые задаются следующим образом:

$$H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\\ \mathcal{D}(H)=\left\{\psi \in \mathcal{H}^2[0,a]:\psi(0)=\psi(a)=0\right\},$$ так, хотя действие $H$кажется, дает представление о том, что собственные функции импульса также являются собственными функциями энергии, это неверно, потому что действие не определено, поскольку функции не находятся в $\mathcal{D}(H)$.

Используя такие граничные условия, что$\psi(0)=\psi(a)=0$для оператора импульса не дает самосопряженного оператора , так как сопряженный$P^*$имеет больший домен, в этом случае$\mathcal{D}(P^*)=\mathcal{H}^1[0,a]$. Поскольку наблюдаемые должны быть представлены самосопряженными , а не только симметричными операторами, это граничное условие не выполняется. Проверьте эту статью для лучшего обсуждения.

В 1d частице в ящике энергия частицы должна полностью определяться импульсом частицы, которую вы наблюдаете правильно?

Гамильтониан в позиционном базисе равен

$$\hat H = \begin{cases}-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}, & 0\lt x \lt a\\\infty, & \text{otherwise} \end{cases}$$

а собственные функции энергии имеют вид

$$\psi_n(x,t) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left(\frac{n\pi}{a}x \right)\left[\theta(x) - \theta(x - a)\right]e^{-i\omega_nt}$$

которые явно не являются импульсными собственными функциями. Так что нет, процитированное утверждение неверно.

Так как же вы можете одновременно иметь дискретные уровни энергии и непрерывный спектр импульса?

Этот потенциал не допускает непрерывного спектра импульса.

Верно , что мы можем найти непрерывное$\phi_n(p,t)$и расширить$\psi_n(x,t)$над собственными функциями импульса.

Однако, если хорошенько подумать об этом, собственные функции энергии будут полными только на интервале$[0,a]$. Другими словами, мы не можем разложить собственную функцию импульса по собственным функциям энергии.

Иными словами, оператор$i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$не имеет собственных функций для этого потенциала.