Обоснование дискретного спектра для V(x), неограниченного при ±∞±∞\pm \infty, у Полинга и Уилсона

Вы можете подумать о «решении X уравнений с Y неизвестными». Когда$X>Y$, вы обычно ожидаете бесконечных решений, когда$X=Y$вы обычно ожидаете уникального решения, когда$X<Y$вы обычно не ожидаете никаких решений. Утверждения такого рода не всегда математически строги, но обычно их можно строго аргументировать в конкретных обстоятельствах.

Выберите энергию$W$и произвольная точка$x$. Вы можете выбрать любые два действительных значения для$\psi(x)$и$\psi'(x)$: Здесь у вас есть два непрерывно регулируемых параметра. Упс, не совсем. Поскольку дифференциальное уравнение однородно, можно предположить (без ограничения общности), что$\psi(x)$либо 1, либо 0. Таким образом, у вас фактически есть только один непрерывный регулируемый параметр. Будем считать отныне, что$\psi(x)=1$, поскольку$\psi(x)=0$случай фактически эквивалентен частному случаю$\psi(x)=1$с наклоном, идущим к$\pm \infty$.

«Обратиться к нулю справа» — это ограничение, поэтому у нас есть одно ограничение и один регулируемый параметр. Обычно мы ожидаем уникального решения. На самом деле, я думаю, вы можете строго доказать, что здесь есть единственное решение, потому что асимптотическое поведение монотонно связано с$\psi'(x)$.

Точно так же «обращение к нулю слева» является ограничением, поэтому существует уникальное значение$\psi'(x)$который удовлетворяет этому ограничению.

Теперь определим функцию$R(W)$что является значением$\psi'(x)$что заставляет решение стремиться к нулю справа при энергии$W$; и аналогично$L(W)$слева. Решения возникают на перекрестках, где$L(W) = R(W)$.

Обычно, когда вы рисуете две одномерные кривые, они пересекаются друг с другом только в дискретных точках, а не, скажем, полностью перекрываются на непрерывном интервале.

Можем ли мы строго доказать, что у вас нет странного обстоятельства, при котором$L(W) = R(W)$на всем непрерывном интервале различных$W$? Предположительно, вы можете как-то это доказать, но я не уверен в деталях...

Первое, что я хотел бы попробовать, это найти выражение для производных$L'(W)$и$R'(W)$, с точки зрения$V$, и, надеюсь, я смогу доказать, что они не могут быть равны на всем интервале. Что-то вроде того...