Какие локальные ковариантные тензоры можно составить из метрики?

Обычно в дифференциальной геометрии мы предполагаем, что единственный способ получить тензорную величину дифференцированием состоит в том, чтобы (1) начать с тензора, а затем (2) применить ковариантную производную (а не старую добрую частную производную). Применяя это к ОТО, я думаю, что один из способов сформулировать принцип эквивалентности состоит в том, что единственный тензорный объект, который, как мы ожидаем, будет «встроен» в вакуум, — это метрика. Поскольку ковариантная производная в основном определяется как производная, которая дает ноль, когда вы применяете ее к метрике, это означает, что вы не можете получить ничего интересного (т.е. локального и тензорного), применяя процесс, описанный в #1 и #2 к вакууму. Это можно использовать как причудливый способ доказать, что ньютоновское гравитационное поле$\mathbf{g}$не является тензором, поскольку в ньютоновском пределе это по существу градиент метрики.

Однако процесс, описанный в пунктах 1 и 2, достаточен, но не обязателен. На самом деле, один из способов определения кривизны состоит в том, чтобы взять нековариантные производные от метрики для формирования символов Кристоффеля, а затем выполнить дальнейшие операции с нековариантными производными, чтобы получить тензор кривизны Римана, который неожиданно оказывается допустимым тензором. .

Таким образом, представляется, что тензор Римана является частным случаем. Первоначально я думал, что может существовать теорема единственности, которая доказывает, что если мы хотим получить локальную тензорную величину из метрики, единственными возможными способами являются тензор Римана или полиномы кривизны, образованные из тензора Римана и его ковариантных производных.

[EDITS] Комментарий joshphysics и ответ BebopButUnsteady помогли мне уточнить эту гипотезу следующим образом.

Джошфизики указал, что такие вещи, как$g_{ab}g_{cd}$можно считать тривиальными контрпримерами. Я могу придумать два возможных способа справиться с этим:

(1) Ответ BebopButUnsteady показывает, что это в каком-то смысле вовсе не контрпример, поскольку сама метрика может быть выражена в виде ряда Тейлора через тензор Римана и его производные. Если метрика является аналитической и если мы готовы принять бесконечные ряды, то это означает, что в метрике нет информации, которую нельзя было бы восстановить из тензора Римана.

(2) Чего , по-видимому , не существует, кроме полиномов кривизны, образованных из тензора Римана и его ковариантных производных, так это (а) любого переменного скалярного поля или (б) любого векторного поля. (Часть b в основном представляет собой принцип эквивалентности.)