Можно ли записать гильбертово действие как произведение двух одинаковых тензоров?

Мы знаем, что действие Максвелла можно записать как тензорное произведение тензора Ф а б с собой. Ф а б Ф а б

[Редактировать: этот бит я забыл упомянуть в исходном вопросе] Используя правило продукта, можно написать действие ∫ − г р г Икс 4 только в терминах первых производных (без учета граничных членов). Назовите это лагарангианом Б . Так:

Б "=" − г ( г а б г г е г с ф + 2 г а с г б ф г г е + 3 г а г г б е г с ф − 6 г а г г б ф г с е ) ∂ с г а б ∂ ф г г е

Точно так же существует тензор (или действительно нетензорный матричный объект) п а б с такой, что п а б с п а б с "=" Б ? п должны содержать только первые производные от г . т.е. игнорирование граничных условий: ∫ − г р г Икс 4 "=" ∫ − г п а б с п а б с г Икс 4

Или есть простое доказательство того, что это невозможно?

Я предполагаю, что вы бы написали:

п а б с "=" α 1 ∂ а г б с + α 2 ∂ б г а с + α 3 ∂ с г а б + α 4 г а б г е ф ∂ с г е ф + α 5 г а с г е ф ∂ б г е ф + α 6 г б с г е ф ∂ а г е ф

И посмотреть, какие значения α возможно, решил бы это. Даже если α являются некоммутативными.

Редактировать: используя компьютерное программное обеспечение, я думаю, это можно сделать там, где α являются комплексными числами. Не думайте, что есть действительно ценное решение.

Вы непоследовательны в том, п имеет два индекса или три.
Грубо аннулировать ответы, изменяя вопрос после того, как ответ написан.
Да, я ошибся, потому что у производной метрики было бы 3 индекса.
@Смит. Извините, это была ошибка, которую я сделал в вопросе. Не пытаясь быть грубым.
Вы должны написать свое изменение в качестве дополнения и указать, что оно было добавлено после моего ответа. Тогда кто-то другой может ответить на ваш пересмотренный вопрос.
Я не считаю это редактирование удовлетворительным. Я собираюсь удалить свой ответ. Я буду колебаться, чтобы ответить на любые дополнительные вопросы от вас. С наилучшими пожеланиями в получении ответов от других.
Несколько связанный вопрос: physics.stackexchange.com/questions/340371/…
@knzhou Похоже, да. По сути, я смотрел лекцию Вайнштейна о его теории «геометрического единства», и это заставило меня задуматься над этим вопросом. Но разница в том, что я пишу это только с точки зрения первых производных. Так может быть проще.

Ответы (2)

Хотя это и не совсем то, что вы имели в виду, вас может заинтересовать формулировка гравитации Макдауэлла-Мансури.

Этот формализм объединяет связность Леви-Чивиты и поле кореперов в единое физическое поле, что приводит к лагранжиану калибровочной теории:

С мм [ А ] "=" − 1 2 Λ ∫ т р ( Ф ^ ∧ ⋆ Ф ^ ) ,
с группой де Ситтера или анти-де Ситтера в качестве калибровочной группы (в зависимости от знака космологической постоянной).

Это действие классически эквивалентно действию Эйнштейна-Гильберта с космологической постоянной (разница между этими действиями пропорциональна чисто топологическому члену Гаусса-Бонне, который не меняет ЭФЭ).

Оригинальная бумага:

  • Макдауэлл, С.В. и Мансури, Ф. (1977). Единая геометрическая теория гравитации и супергравитации . физ. Преподобный Летт. 38 (14): 739–742. doi:10.1103/PhysRevLett.38.739 .

Более доступное изложение можно найти в диссертации Д. Уайза, см. также его статью или эти слайды .

Спасибо. Математика для меня немного сложная. Не могли бы вы уточнить? Я понимаю только тензорный формализм, а не формализм клина, звезды, шляпы.
Это тензоры «под капотом». Вы можете думать об этой нотации как о последовательном способе скрыть индексы. Например, Ф ^ является (a)dS алгебраическизначной 2-формой, что означает, что под ней есть 2 внутренних индекса и 2 индекса ковариантного антисимметричного тензора. Слайды, которые я связал, дают наиболее краткие определения этих объектов (также я заметил, что некоторые коэффициенты, такие как 1 / ℓ там опущены).

Я нашел один ответ, используя программу компьютерной алгебры. К сожалению, ответ имеет комплексные коэффициенты:

п а б с "=" 1 2 ( 3 − − 3 ) ∂ а г б с + 1 2 ( − − 3 − 3 ) ∂ б г а с + ( 0,3735 я + 0,8771 ) г б с г е ф ∂ а г е ф + ( 0,86146 я − 0,2620 ) г б с г е ф ∂ а г е ф

Похоже, что на самом деле существует бесконечное количество решений, если мы позволим коэффициентам быть комплексными числами. И нулевые решения, если коэффициенты должны быть действительными.

Поскольку это можно решить только в комплексных числах, я не думаю, что это имеет какое-либо значение. В отличие от Максвелла, который имеет простой Ф а б "=" ∂ а А б − ∂ б А а

Лучшим решением может быть просто замена в ∂ а г б с "=" Г б а с − Г с а б в уравнении для Б чтобы получить своего рода квадратный термин, включающий только символы Кристоффеля.

Можно ли записать гильбертово действие как произведение двух одинаковых тензоров?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v