Каким будет эффективное сопротивление лестницы из резисторов, состоящей из n ступеней?

Я сделаю это шаг за шагом здесь. Сначала я напишу ответ для первых нескольких случаев с анализом схемы. Затем я применю сокращение, чтобы показать шаблон, к которому приходит проблема.

Н=1

$$Z = R+R=2R$$

N=2

$$Z = R+\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R + R}} = R \left( 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1 + 1}} \right)=\frac{5}{3} R$$

N=3

$$Z = R+\frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R + \frac{1}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R + R}}}} = R \left( 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1 + \frac{1}{1+\frac{1}{1 + 1}}}} \right) =\frac{13}{8} R$$

В этот момент цепная дробь четко различима. Я нахожу это немного тревожным, потому что он не масштабируется с$N$, но непрерывная дробь растет как$2N$. Это можно исправить, не рассматривая возможность добавления 2 резисторов на конце каждый раз, а вместо этого добавляя один резистор параллельно, один последовательно к этому, затем новый параллельно между двумя новыми и используя для этого другой индекс.

Вычислительные программы должны иметь простую функцию для записи непрерывной дроби в некоторые$N$количество фракций. К сожалению я не могу найти это для Maple, но мне нужна такая процедура, чтобы дать ответ на ваш вопрос. Я дам определение такой вещи прямо здесь. я намеренно использую$n$в определении и не$N$во избежание неизбежной путаницы.

$$F(1)=1$$ $$F(n+1) = 1+\frac{1}{F(n)}$$

Этим я могу ответить на ваш вопрос.

$$Z = R F(2 N)$$

И я могу дать вам пример функции, которую я только что создал.

$$F(1..6) = [1, 2, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, \frac{8}{5}, \frac{13}{8}]$$ $$F(\infty) = \frac{ \sqrt5+1}{2}$$

Я думаю, что это лучшая форма, с помощью которой можно решить проблему. Дробь не может быть легко приведена к какой-либо краткой алгебраической форме, потому что весь смысл этого упражнения состоит в том, чтобы не вводить допущений, а большая дробь является алгебраической формой ответа. Однако конечные значения дроби настолько легко реализовать процедурно, насколько это возможно.

Решение закрытой формы

Это должно быть мое последнее редактирование, и это выражение в значительной степени решает проблему.

$$F(n) = \frac{\varphi^{n+1}-(1-\varphi)^{n+1}}{\varphi^n-(1-\varphi)^n}$$ $$\varphi = \frac{ \sqrt5+1}{2}$$ $$Z = R \frac{\varphi^{2 N+1}-(1-\varphi)^{2 N+1}}{\varphi^{2 N}-(1-\varphi)^{2 N}}$$

Для любого заданного$n$, вы можете решить это с помощью правил для последовательных и параллельных резисторов, но чтобы получить общую формулу, действительную для всех$n$, мне не кажется легким. Лучший способ, который я знаю, - это получить рекурсивное отношение, дающее сопротивление$n$- стремянка в плане$(n-1)$-стремянка. Если я не ошибаюсь, то$n$-лестницу можно рассматривать как одиночный резистор$R$последовательно с параллельной комбинацией, состоящей из другого$R$и$(n-1)$-стремянка. Правила последовательного и параллельного сопротивления дают

$$R_n=R+{RR_{n-1}\over R+R_{n-1}}.$$ Начальная одноступенчатая лестница имеет $R_1=2R$, и вы можете использовать приведенную выше формулу, чтобы двигаться вверх по цепочке оттуда.

Я заставил Mathematica проработать первые шаги, и они, кажется, связаны с числами Фибоначчи, в частности

$$R_n=R{F_{2n+1}\over F_{2n}}.$$ Я уверен, что это можно доказать по индукции.

Интересно. Я думаю, вы хотите действовать следующим образом: (1) Без ограничения общности предположим, что входное напряжение равно 1, а резисторы имеют один Ом. (2) Определить r = сопротивление бесконечной лестницы. (3) Теперь посмотрите на схему, где мы добавляем еще один шаг с левой стороны. Мы должны найти напряжение там, где оно подключено, как функцию r. (4) Новый ток равен 1 минус это напряжение. А полное сопротивление конфигурации r'=1/(1-V(r)). (5) Скорректируйте r так, чтобы r=r' (6) Масштабируйте по R, указанному в исходной задаче. Т.е. результат r*R.

Немного алгебры в шагах 4 и 5.....

Работайте в обратном направлении, чтобы упростить математику, а также ускорить появление шаблона. Я сделал это, но покажу результаты в прямом порядке

Р(1) = 2Р = (1+1/1)Р

R(2) = (1+(2/3)) R

Р(3) = (1+(5/8)) Р

R(4) = (1+(13/21)) R

R(5) = (1+(34/55)) R

Назовем эту общую форму ---> R(N) = (1+((a(N)/b(N))) R

Определите a(1) = b(1) = 1.

Для N > 1 --->

а (N) = а (N-1) + б (N-1)

б(N) = а(N) + б(N-1) = а(N-1) + 2 б(N-1)

Вам все еще нужно провернуть математику для каждого R (N), так как нужно знать a (N-1) и b (N-1), чтобы получить следующий член; но это более прямолинейно. Может быть, кто-то, разбирающийся в математике сериалов, сможет передать это нам в закрытой форме.

Вот как электрик решает проблему:

Позволять$U$быть напряжением на входе лестницы резисторов. Позволять$I_k$быть текущим в горизонтальном плече k-го сечения,$I_0$быть текущим в горизонтальном плече 0-й секции (начальной секции),$I_n$быть текущим в горизонтальном плече n-й секции (последняя секция). Итак, я работаю на самом деле с$n+1$разделы. Применяя последовательно к замкнутым цепям закон Кирхгофа для напряжений, находим:

$$RI_0+R(I_0-I_1)=U$$

$$R(I_0-I_1)-RI_1-R(I_1-I_2)=0$$

$$..............................$$

$$-R(I_{n-1}- I_n)+2RI_n=0$$ После упрощения:

$$2I_0-I_1=\frac{U}{R}$$

$$3I_k-I_{k+1}-I_{k-1}=0$$

$$3I_n-I_{n-1}=0$$ Теперь эффективное сопротивление:

$$R_e=\frac{U}{I_0}$$ Следующим шагом является решение рекуррентного соотношения. Удивительно, но Wolfram Alpha неплохо справляется со своей задачей: Ссылка здесь . Есть $f(k)$вместо $I_k$

Так$R_e=R\frac{(7-3\sqrt 5)(3-\sqrt 5)^n+(3+\sqrt 5)^{n+1}}{(1+\sqrt 5)(3+\sqrt 5)^n-2(\sqrt 5-2)(3-\sqrt 5)^n}$

Этот ответ согласуется с ответом Zassounotsukushi.

возьмите только первые 2 резистора и остальные как$x$теперь вертикальный резистор и ваш$x$будет параллельно, эффективное сопротивление будет$Rx/R+x$с последовательным горизонтальным резистором.

Теперь эквивалентное сопротивление будет

$$Req. = R+ (Rx/R+x).$$

• взять Рек. в качестве$x$опять таки

Составьте квадратное уравнение и решите его$x$. Это будет ответ.