Каков физический смысл членов мультипольного разложения?

На вопрос 2: («Почему одиночный заряд вдали от начала координат имеет дипольный член?»)

Допустим, у вас есть заряд +3 в точке (5,6,7). Используя принцип суперпозиции, можно представить, что это суперпозиция двух распределений заряда

• Распределение заряда A: заряд +3 в точке (0,0,0)

• Распределение заряда B: заряд -3 в точке (0,0,0) и заряд +3 в (5,6,7).

Очевидно, что сложив их вместе, вы получите реальное распределение заряда:

$$(\text{real charge distribution}) = (\text{charge distribution A}) + (\text{charge distribution B}).$$

По принципу суперпозиции:

$$(\text{Real }\mathbf E\text{ field}) = (\mathbf E\text{ field of charge distribution A}) + (\mathbf E\text{ field of charge distribution B}).$$

И, поскольку мультипольное разложение также подчиняется принципу суперпозиции:

$$\begin{align} (\text{real monopole term}) & = (\text{monopole term of distribution A}) + (\text{monopole term of distribution B}),\\ (\text{real dipole term}) & = (\text{dipole term of distribution A}) + (\text{dipole term of distribution B}),\\ (\text{real quadrupole term}) & = (\text{quadrupole term of distribution A}) + (\text{quadrupole term of distribution B}), \end{align}$$ и так далее.

Поле распределения заряда A является чисто монопольным полем, в то время как поле распределения заряда B не имеет монопольного члена, а только диполь, квадруполь и т. д. Следовательно,

$$\begin{align} (\text{real monopole term}) & = (\text{monopole term of distribution A}), \\ (\text{real dipole term}) & = (\text{dipole term of distribution B}),\\ (\text{real quadrupole term}) & = (\text{quadrupole term of distribution B}), \end{align}$$ и так далее.

Хотя то, что реальное распределение заряда имеет дипольную составляющую, кажется нелогичным, вовсе не удивительно, что распределение заряда В имеет дипольную составляющую: это два равных и противоположно разделенных заряда! А распределение заряда B — это именно то, что вы получите после вычитания монопольной составляющей, чтобы посмотреть на второстепенные члены разложения.

Чтобы понять смысл разложения по мультиполям, во-первых, нам нужно спросить себя об оценке потенциала очень случайного распределения заряда. Вспомните, что если вы забудете о разложении по мультиполям, у вас не будет простого устройства для определения потенциала случайного заряда. распределения, либо вам нужен потенциал рядом с распределением, либо очень далеко.

На наших основных электростатических курсах нас обычно учат тому, как оценить потенциал некоторого симметричного распределения заряда, например, потенциал для распределений, которые сферически и цилиндрически симметричны, и в наиболее сложных случаях распределение будет некоторым параметром полярных углов или радиальные расстояния.

Теперь, второе, что всегда игнорируется (и поэтому застревает в путанице с интуицией) при изучении мультипольных разложений, это то, что диполь не имеет ничего общего с парой положительного и отрицательного заряда, или октуполь не имеет ничего общего с парой положительного и отрицательного заряда. сделать с группой из 4 положительных и 4 отрицательных заряда. Там распределение заряда заботится только об изменении потенциала,

1. Есть ли интуитивное значение каждого из этих терминов? Например, я могу понять монопольный член следующим образом: в первом приближении распределение заряда будет выглядеть как точечный заряд, находящийся в начале координат, что математически соответствует тому, что называется монопольным членом, который есть не что иное, как$Q/r$. Это верно?

Во-первых, номенклатура довольно неудачная (идет как$2^n$, т.е.$2^2=\text{quadrupole}$) и может ввести в заблуждение. Математически монопольный член представляет собой полином Лежандра нулевого порядка ($L_0(x)=1$,$L_1(x)=x$,$L_2(x)=(3x^2-1)/2$) и так далее (вплоть до нормализации).

С физической точки зрения первый член говорит нам кое-что о симметрии системы в зависимости от местоположения наблюдателя. Предположим, что потенциал в точке А системы зарядов имеет только монопольную структуру, это означает, что распределение заряда имеет полную пространственную инвариантность. Что еще более важно, первый член говорит вам, что если нам нужна полная энергия системы, нам нужно беспокоиться только о потенциале в точке А , потому что монополь соединяется только с электрическим потенциалом.

2. Теперь, что означает термин диполь? Я знаю, что слово «диполь» происходит от наличия 2 противоположных зарядов, и потенциал из-за этой конфигурации, если заряды выровнены вдоль оси z симметрично, скажем, выглядит как$\cos\theta/r^2$. Но из мультипольного разложения есть ненулевой дипольный член даже в случае одиночного заряда, скажем, находящегося на некотором расстоянии от начала координат. Почему тогда он называется дипольным термином? Есть ли способ понять этот термин так же, как я понял термин монополия?

Дипольный член представляет собой полином Лежандра 1-го порядка ($2^1=\text{dipole}$). Возможны условия более высокого порядка, даже если чистый заряд равен нулю. Это означает, что энергия системы зависит от взаимодействия дипольного момента с электрическим полем пробного заряда.$\vec{d} \cdot\vec{E}$связи изучаются во взаимодействиях света с веществом. Еще один интересный момент, на который следует обратить внимание, заключается в том, что существует своего рода нарушение пространственной симметрии, возникающее из-за того, что дипольные взаимодействия могут устанавливать предпочтительную пространственную ось (например, вдоль линии, соединяющей заряды).

3. Каков интуитивный смысл квадрупольного термина?

4. Является ли мультипольное разложение разложением по степеням$1/r$только? или из$\cos\theta$слишком?

5. Может быть, это не независимый вопрос, но мне интересно, есть ли что-то вроде геометрического/графического значения каждого термина в мультипольном расширении.

Квадрупольный член назван так потому, что это полином Лежандра второго порядка.$2^2=4$. Квадрупольный момент связан с градиентом электрического поля.

Во всяком случае, это мой личный взгляд на эту тему. Математически очень интересно спросить, почему мы получаем из этого многочлены Лежандра? Оказывается, полиномы Лежандра могут быть порождены ортонормализующими мономами (основа для этого разложения в ряд).