Почему мультипольные моменты более высокого порядка не «стекаются», как монопольный и дипольный моменты?

На этот вопрос, как и на многие другие в физике, можно ответить с помощью простого аргумента масштабирования. Каждый постоянный$2^\ell$-полюс будет иметь размер, характерный для объема, который он занимает, назовем это$a$. Количество$2^\ell$-полюсов, которые потенциально могут конструктивно складываться, задается простым соотношением объемов, скажем

$$N = \frac{L^3}{a^3},$$ в $L\times L\times L$куб.

Мультипольный момент строительного блока будет иметь нормировочный коэффициент, который можно настроить таким образом, чтобы

$$Q_\ell^m \propto qa^\ell,$$ для некоторого характеристического заряда $q$(обычно вокруг заряда электрона). Если предположить, что мы имеем дело с наименьшим неисчезающим мультиполем, так что он инвариантен к трансляции, то общее $2^\ell$-полюсный момент будет просто числом $2^\ell$-полюсов, умноженный на момент на $2^\ell$-полюс, чтобы получить $$\begin{align} Q_{\ell,\mathrm{tot}}^m &\propto Nqa^\ell \\ & = q L^3 a^{\ell-3} \\ & = q \left(\frac{a}{L}\right)^{\ell - 3} L^\ell = q' L^\ell. \end{align}$$ Значение последней строки в том, что она равносильна обмену всеми микроскопическими $2^\ell$-полюса для одного эквивалентного макроскопического, построенного из монополей характеристического заряда $q'$которые получают то же самое $2^\ell$-полюсный момент. Для $\ell < 3$, размер зарядов, необходимых для построения эквивалентного макроскопического $2^\ell$-полюс растет с $L$. Для $\ell=3$, октупольный момент, характеристический заряд постоянен (например, суммарный октупольный момент соляного куба, вплоть до числового коэффициента в несколько раз, такой же, как при наличии одного некомпенсированного электрона/протона на углах куба). Для $\ell > 3$заряд, необходимый для создания макроскопического эквивалента $2^\ell$-полюс на самом деле сжимается с ростом $L$.

Конечно, для фиксированного$q$и$a$, сеть$2^\ell$-полюсный момент всегда растет$\propto L^3$, но эта замена эквивалентного макроскопического$2^\ell$-полюс облекает абстрактное понятие в конкретные термины, которые упрощают представление о том, насколько малы создаваемые электрические поля.

Другой способ взглянуть на проблему - рассмотреть, насколько велико поле, создаваемое на поверхности объекта. Для$2^\ell$-полюс главный член порядка в электрическом или магнитном поле пропорционален$r^{-2-\ell}$. Так как минимальное расстояние наблюдения$r\sim L$, и$2^\ell$-полюсный момент растет как$L^3$, электрическое поле на минимальном расстоянии от точечного эквивалента$2^\ell$-полюс$\propto L^{1-\ell}$. При таком способе измерения «воздействия» попытки сложить мультиполи хорошо складываются только монопольные моменты, а дипольные моменты незначительны.

И все это предполагает, что «укладку» можно провести идеально, игнорируя термодинамические эффекты, приводящие к магнитным доменам и кристаллическим зернам.