Как видно на этой странице http://en.wikipedia.org/wiki/Multipole_expansion , когда мы берем мультипольное расширение без предположения об азимутальной симметрии, мы получаем коэффициенты для момент расширения. Таким образом, дипольный момент имеет 3 члена, квадрупольный — 5 и так далее. Это отличается от случая азимутальной симметрии, поскольку нам нужен только один коэффициент для каждого члена.
Интерпретация 3 коэффициентов для дипольного момента не так уж плоха. Я предполагаю, что это представляет собой дипольные моменты вдоль трех декартовых осей? И как мы интерпретируем необходимость иметь коэффициенты для каждого члена?
Для -го члена вы берете вполне симметричные тензоры ранга которые полностью бесследны при сокращениях каждого индекса. Это происходит потому, что именно так строятся мультипольные моменты, а точнее сферические гармоники, из декартовых координат. Например имеет компоненты, которые выглядят как который является симметричным бесследным матрица. Быть симметричным компонентов, будучи бесследным, удаляет другой компонент, оставляя который
Сферическое мультипольное разложение возникает из решения уравнения Лапласа в сферических координатах. Мы пытаемся решить путем разделения переменных, и появляется уравнение на собственные значения.
Число 3 во втором члене вызвано вырождением некоторого собственного значения (это 3 линейно независимых решения для одного и того же собственного значения). Тот же аргумент справедлив и для более высоких терминов.
Удачное совпадение позволяет нам идентифицировать потенциал диполя (пары зарядов противоположного знака с небольшим разделением) во втором члене, но для более высоких членов это не так просто.