Каков физический смысл стандартных базовых векторов?

Я могу найти 3 смещения г → 1 , г → 2 , г → 3 и использовать их в качестве основы, чтобы смещение было г → "=" а г → 1 + б г → 2 + с г → 3 . Я могу найти 3 силы Ф → 1 , Ф → 2 , Ф → 3 и использовать их в качестве основы, так что сила Ф → "=" а Ф → 1 + б Ф → 2 + с Ф → 3 . Итак, в основе лежат векторы со значением перемещения или силы или др... физический смысл понятен в этих примерах. Но стандартные базовые векторы я → , Дж → , к → отличаются, потому что они подходят для всех типов векторов, например, их можно использовать для записи сил в виде Ф → "=" а я → + б Дж → + с к → или смещения как р → "=" г я → + е Дж → + ф к → и так далее... Но каков их физический смысл? Я думал, что это просто направление, но тогда не имеет смысла тот факт, что их можно умножить на скаляр и изменить интенсивность. Кроме того, кажется странным, что семейство векторов, таких как силы, может быть получено путем линейных комбинаций других объектов, которые не являются векторами того же типа.

Я предполагаю, что базисные векторы ортонормированы, поэтому компонент a равен а "=" ( Ф → 1 ) Т ⋅ Ф → , а "=" ( я → ) Т ⋅ Ф → это означает, что базис I и F1 должны быть равны

Ответы (2)

Ваши базисные векторы — это единичные векторы, которые (по иронии судьбы) безразмерны. Таким образом, для всех примеров базисных векторов, которые вы предлагаете, указание того, что представляет собой вектор, несколько вводит в заблуждение.

Другими словами, вы можете думать обо всех ваших базисных векторах ( г ^ 1 , г ^ 2 , г ^ 3 , Ф ^ 1 , Ф ^ 2 , Ф ^ 3 , я ^ , Дж ^ , к ^ ) как просто направления в пространстве. Эти наборы базисных векторов не представляют позиции, силы и т. д. Ваши фактические величины компонентов ( а , б , с и т. д.) имеют единицы измерения, и именно это определяет, что физически представляет вектор.

Вот почему вы можете объяснить многие векторные величины с помощью одного и того же набора базисных векторов. Позиция, сила и т. д. имеют некоторое направление в пространстве, на которое вы смотрите. Следовательно, вы можете выразить каждый вектор, используя одни и те же базисные векторы.

Итак, когда вы говорите: «Я могу найти три вектора смещения и использовать их в качестве базисных векторов», на самом деле вы имеете в виду: «У меня есть три вектора смещения, и я могу взять их направления и определить базисные векторы». (при условии, что они действительно составляют действительную основу). На вашем примере это

г ^ 1 "=" г 1 | г 1 |
г ^ 2 "=" г 2 | г 2 |
г ^ 3 "=" г 3 | г 3 |

Эти базисные векторы являются просто направлениями, с ними не связаны никакие единицы измерения, и вы можете использовать их для объяснения любого другого вектора. Например, сила может быть

Ф "=" Ф 1 г ^ 1 + Ф 2 г ^ 2 + Ф 3 г ^ 3
Другими словами, вы разбили свой вектор силы на компоненты, где каждый компонент находится в направлении каждого из векторов смещения, которые вы использовали для определения своего базиса. Ценности Ф я имеют единицы силы, и это то, что делает вектор вектором силы. Также обратите внимание, например, что термин Ф 1 г ^ 1 не "меняет интенсивность" г ^ 1 . Это просто скалярное умножение единичного вектора г ^ 1 . Это аналогично вычислению 3 ⋅ 4 "=" 12 не меняет что 4 на самом деле есть.

  1. Если вы конкретно рассматриваете некоторые Ф ^ я , Ф ^ Дж , и Ф ^ к в качестве «основы силы» вы бы выразили произвольную силу Ф как

    Ф "=" Ф я Ф ^ я + Ф Дж Ф ^ Дж + Ф к Ф ^ к
    где Ф я , Ф Дж , и Ф к являются безразмерными скалярами. Обычно это не делается, потому что это непрактично по многим причинам. Очевидно, что линейную независимость базисных векторов легко реализовать, если вы рассматриваете что-то вроде Ф ^ я "=" ⟨ 1   Н , 0   Н , 0   Н ⟩ . Вы утверждаете, что базис представляет собой набор единичных векторов, поэтому модуль Ф ^ а (где а представляет я , Дж , или к ) должно быть 1 . Но размеры здесь становятся неприятными, и мы получаем | | Ф ^ я | | "=" 1   Н 2 "=" 1   Н ≈ 0,225   л б ф . Это означает, что ваши единичные векторы по какой-то причине отдают предпочтение ньютонам, поскольку модуль в других единицах не равен 1 . Это не то, чего вы хотели бы. Конечно, вы по-прежнему можете называть их базисом, потому что они работают как базис, позволяя вам выразить любой другой вектор силы уникальным образом в виде Ф "=" Ф я Ф ^ я + Ф Дж Ф ^ Дж + Ф к Ф ^ к .

  2. Рассмотрим математическую формулу для мгновенной мощности, п "=" Ф ⋅ в . Используя предложенный набор единичных векторов скорости в ^ а и единичные векторы силы Ф ^ я , у нас очень бесполезный

    п "=" ( Ф я Ф ^ я + Ф Дж Ф ^ Дж + Ф к Ф ^ к ) ⋅ ( в я в ^ я + в Дж в ^ Дж + в к в ^ к ) ,
    расширение которого даже явно не является скаляром, поскольку Ф ^ а ⋅ в ^ а и Ф ^ а ⋅ в ^ б не были определены (и их определение даст далеко не элегантные результаты).

  3. Решение состоит в том, чтобы использовать «универсальный» набор базисных векторов. я ^ , Дж ^ , и к ^ , которые можно умножить на размерные скаляры, чтобы получить желаемые векторы, такие как перемещение и сила. Эти единичные векторы не заставляют вас бороться с различными наборами единиц (такими как сантиметры в метры и подобные преобразования), и они просто указывают взаимно ортогональные направления в трехмерном пространстве. р 3 . Критическим моментом является то, что коэффициенты этих единичных векторов, как правило, не безразмерны, хотя и являются скалярами, и именно поэтому вектор в конечном итоге приобретает интуитивное физическое значение.

Каков физический смысл стандартных базовых векторов?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v