Почему сила является вектором? (Лекции Фейнмана)

Хорошо, я думаю, что это ответ, который вы, вероятно, ищете. Все остальные дают математически правильные ответы, но я думаю, что они забыли, что у Фейнмана есть забавное определение векторов; он определяет их как трехкомпонентный объект, который трансформируется как$\vec{r}$при повороте системы.

Итак: Мы хотим показать, что$\vec{F}$трансформируется как$\vec{r}$делает при вращениях.

Отметим, во-первых, что$\vec{v}$дан кем-то$\frac{d\vec{r}}{dt}$, поэтому он преобразуется как$\vec{r}$. Точнее, если$R$- матрица вращения, и$\vec{v}'$наша преобразованная скорость, мы имеем

Сходным образом,$\vec{a}$трансформируется как$\vec{r}$, так как это вторая производная от$\vec{r}$. Тогда с тех пор$\vec{F}=m\vec{a}$, он тоже трансформируется как$\vec{r}$.

Я должен предупредить вас, что вы смешиваете здесь два понятия:

1) является ли некоторый объект вектором или нет вектором или псевдовектором .

2) Является ли данная сила реальной силой или псевдо/фиктивной силой .

относительно пункта 1): -Формальное определение вектора состоит в том, что это элемент-$n$-tuple - векторного пространства , удовлетворяющего группе аксиом.

Я не буду перечислять все аксиомы (вы можете проверить их в вики-статье о векторных пространствах), но некоторые включают такие вещи, как, если вы масштабируете вектор, он должен оставаться вектором (замыкание при масштабировании), если вы добавляете два вектора , результирующий тоже является вектором (замыкание при добавлении) и т. д.

Кроме того, это векторное пространство должно быть оснащено внутренним продуктом (точечный продукт), который позволяет нам измерять его величину и направление.

Точно так же, как вы указали, можно определить вектор как объект, который правильно преобразуется при вращении координат, например, как вектор смещения. Те, которые не удовлетворяют вышеупомянутым аксиомам, не являются векторами.

Но есть и третья категория, называемая псевдовекторами, они почти во всем похожи на векторы, за исключением того, что ведут себя иначе при инверсии координат. Например, если у вас есть вектор$\mathbf{A}$указывая положительное направление x, и теперь, если вы инвертировали свои координаты, тогда это станет$- \mathbf{A}$в новой системе, что имеет смысл.

Если рассматривать объект

Если вы применили инверсию координат, как$\mathbf{C}$как будет выглядеть в новой системе? так

Так$\mathbf{C}$не меняет знака при инверсии! Такой объект называется псевдовектором.

Сила есть не что иное, как вектор ускорения, масштабированный с коэффициентом$m$(вспомните замыкание по аксиоме масштабирования), поэтому он наследует от ускорения все, что делает его правильным вектором. Так в чем же дело с разговорами о псевдосиле? это подводит меня к пункту 2):

-Даже в области классической механики законы движения Ньютона не всегда справедливы. Они действительны только для наблюдателей, которые движутся с постоянной скоростью. Поэтому для наблюдателей, которые ускоряются (вращаются или движутся неравномерно поступательно и т. д.), законы нарушаются.

Возникает очень своеобразная вещь, называемая фиктивной силой. Например, когда автобус внезапно останавливается, вы и все остальное испытываете толчок вперед. Мы называем это псевдо/фиктивным по уважительной причине. Потому что для наблюдателей на земле людей в автобусе «толкает» не какая-то сила, а их инерция в сочетании с тем фактом, что автобус замедляется (набирает скорость в направлении, противоположном направлению его движения), что дает им иллюзия того, что тебя толкают.

Итак, псевдосила — это сила, которая возникает для ускорения наблюдателей, и как только мы переключаем координаты на наблюдателей, движущихся с постоянной скоростью, такая сила исчезает.

Дело в том, что сила — это вектор, является ли конкретная сила реальной силой или силой псевдо/фиктивной — это уже другая история.

Это старый вопрос, к которому учебники относились серьезно.

С точки зрения динамики вы могли бы предположить,$F=m\vec a$или$\mathrm d \vec p/\mathrm d t$и тогда сила должна быть вектором, потому что таковыми являются ускорение и импульс, и это потому, что в конечном счете смещения (по крайней мере, за малые промежутки времени) являются векторами (или, по крайней мере, пределы их изменения).

Но вы можете иметь силы без динамики. Так что если рассматривать статику как отдельный предмет, достойный собственных оснований и объяснительной силы, то для того, чтобы силы были вектором, нужна совершенно отдельная причина. Но теперь вы можете привести аргумент симметрии. Отсутствие скорости позволяет утверждать, что силы должны складываться подобно векторам. И статика требует способности добавлять силы, чтобы получить общую силу.

Есть много различных аргументов в пользу аргумента статической симметрии. Некоторые из них проще или чище, но работают только для контактных сил. Другие более растянуты. Но все сводится к тому, как, по вашему мнению, силы должны добавляться таким образом, чтобы результат соответствовал симметрии, которую вы ожидаете от природы. Он не выводится из чего-то еще в статике, потому что в статике у вас нет$\vec F=m\vec a$и на самом деле статика должна быть совместима с любой альтернативой второму закону.

Сила — это вектор, потому что она подчиняется закону суперпозиции через правило параллелограмма, которое также работает для геометрических векторов. Этот результат был известен до Ньютона для случая статических сил, и он включил «доказательство», когда ввел параллелограмм силы в свои Principia Mathematica .

См. https://en.wikipedia.org/wiki/Parallelogram_of_force ; первая ссылка ведет к ньютоновскому доказательству следствия I: https://en.wikisource.org/wiki/The_Mathematical_Principles_of_Natural_Philosophy_(1729)/Axioms,_or_Laws_of_Motion#Cor1

Примечание. Часто бывает удобнее описывать векторы в терминах свойств векторного пространства, как показано в линейной алгебре, чем использовать правила преобразования координат, которые использовались в более ранних работах.

Скаляру в любом количестве измерений требуется только одно число, чтобы полностью определить его. Общеизвестными скалярами являются масса, температура и давление.

Вектору в N измерениях требуется N чисел, чтобы полностью описать его, но их можно выбрать разными способами: x, y, z или r, тета, фи или r, тета, z.

Система координат даже не обязательно должна быть ортогональной, однако часто выбираются ортогональные оси, чтобы избежать надоедливых пересечений.

Векторы уровня выше представляют собой тензоры рангов 2,3 и 4. Напряжение (ранг 2) и деформация (ранг 2) связаны упругой жесткостью тензора ранга 4 с 81 компонентом в трехмерном пространстве, однако многие из компонентов равны 0.

Для работы в 2-х измерениях Force нужно 2 числа, чтобы указать его, и 3 в 3-х измерениях.

Как указывалось выше, сила подчиняется аддитивным законам и законам параллелограмма для векторов.

Сила должна быть вектором, то есть иметь компоненты в$d$направлений пространства, потому что оно находится в двойственном отношении со смещениями в этих$d$направления пространства.

Точно так же напряжение является тензором, потому что оно находится в двойственном отношении с деформациями.

Сила — это всего лишь понятие в ньютоновской механике. Говорят, что понятие силы даже не нужно в гамильтоновой механике; тем не менее, это эквивалентно ньютоновской механике.

Формула f = ma — это определение силы; поэтому свойство силы как вектора приобретается только через ее определение. Таким образом, векторная природа силы есть не что иное, как векторная природа ускорения.

Ответ на вопрос «Почему ускорение является вектором?» был бы таким же ответом на вопрос «Почему сила является вектором?»