О системе отсчета во втором законе Ньютона?

У вас неправильное представление о классическом пространстве-времени.$V^4$. Это не декартово произведение$\mathbb E^3 \times \mathbb R$.

Вместо этого это пучок волокон

$$T: V^4 \to \mathbb R$$ такое, что каждое волокно $\Sigma_t = T^{-1}(t)$, абсолютное пространство в фиксированное время $t$, изоморфно трехмерному евклидову пространству (*) $\mathbb E^3$. Основа расслоения, ось $\mathbb R$, это диапазон абсолютного времени $T$которая определена с точностью до аддитивной константы.

Разница между этим представлением о пространстве-времени как связке$T: V^4 \to \mathbb R$и тривиальное скалярное произведение$\mathbb E^3 \times \mathbb R$является фундаментальным: здесь нет канонического представления$V^4$как декартово произведение$\mathbb E^3 \times \mathbb R$.

Точнее, каждый выбор системы отсчета определяет такое представление .

Система отсчета — это не что иное, как (гладкая) сюръективная карта.

$$\pi : V^4 \to \mathbb E^3$$ такой, что $\pi|_{\Sigma_t} : \Sigma_t \to \mathbb E^3$является изоморфизмом евклидовых пространств (т. е. сюръективной аффинной изометрией) для любого $t\in \mathbb R$.

В этой картине,$\mathbb E^3$рассматривается как оставшееся пространство системы отсчета.

Таким образом, пространство-время$V^4$отождествляется с декартовым произведением$\mathbb R \times \mathbb E^3$посредством

$$V^4 \ni p \mapsto (T(p), \pi(p)) \in \mathbb R \times \mathbb E^3$$

Однако таких отождествлений бесконечно много , в зависимости от выбора системы отсчета.

Рассмотрим две системы отсчета$\pi$и$\pi'$и зафиксируем декартовы ортонормированные координаты в соответствующих пространствах покоя$\mathbb E^3$и$\mathbb E'^3$, и используйте абсолютное время, определенное с точностью до аддитивной константы, в качестве координаты времени.

Используя тот факт, что$\pi'|_{\Sigma_t}\circ (\pi|_{\Sigma_t})^{-1} : \mathbb E^3 \to \mathbb E'^3$является сюръективной аффинной изометрией, вы легко видите, что преобразование координат должно иметь вид

$$t'=t+c \:,\quad x'_i = \sum_{j=1}^3 R_{ij}(t) x_j + b_i(t) \tag{1}$$ где $R(t) \in O(3)$и $b(t) \in \mathbb R$для каждого $t$.

Это наиболее общее преобразование координат между декартовыми координатами покоя с разными системами отсчета.

Чтобы определить скорость сечения

$$\mathbb R \ni t \mapsto \gamma(t) \in \Sigma_t$$ вам нужна полная система отсчета, так как указана не только точка отсчета. Действительно, скорость $\gamma$в отношении $\pi$вычисляется как $$\vec{V}_\pi(t) := \frac{d}{dt}\pi(\gamma(t))$$ и, с этим определением, это вектор в пространстве покоя$\mathbb E^3$из$\pi$. Однако его можно рассматривать как вектор в $\Sigma_t$используя обратный изомфризм $\pi|_{\Sigma_t} : \Sigma_t \to \mathbb E^3$. Используя это отождествление, скорости одного и того же сечения, но относящиеся к разным системам отсчета, можно сравнивать в абсолютном пространстве. $\Sigma_t$.

ЗАМЕЧАНИЕ . Недостаточно зафиксировать точку отсчета, то есть сечение$\mathbb R \ni t \to O(t) \in \Sigma_t$определить скорость другого сечения$\mathbb R \ni t \to \gamma(t) \in \Sigma_t$. Ваша идея состоит в том, чтобы взять предел

$$\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\left[\left(\gamma(t+h) -O(t+h)\right) - \left(\gamma(t) -O(t)\right)\right]\:.$$ Дело в том, что разница $$\left(\gamma(t+h) -O(t+h)\right) - \left(\gamma(t) -O(t)\right)$$ не имеет смысла, так как два вектора $\gamma(t+h) -O(t+h)$и $\gamma(t) -O(t)$принадлежат разным векторным пространствам. Для того, чтобы понять это различие, необходимо изометрически идентифицировать пространства . Это именно то, что делает понятие системы отсчета.

Инерциальные системы отсчета определяются как системы отсчета, в которых каждое изолированное тело движется с постоянной скоростью. Легко доказать, что это ограничение накладывает сильное ограничение на форму преобразования координат (1) между инерциальными системами отсчета, которое поэтому специализируется на

$$t'=t+c \:,\quad x'_i = \sum_{j=1}^3 R_{ij} x_j + tv_i + b_i \tag{2}$$

это общее преобразование группы Галилея. Приятно отметить, что с точностью до изоморфизма в классическом пространстве-времени существует только одна аффинная структура, такая, что декартовы координаты покоя с инерциальными системами отсчета вместе с абсолютным временем в качестве четвертой координаты определяют аффинные системы координат этой структуры. Сечения пространства-времени, являющиеся прямыми линиями (геодезическими) этой аффинной структуры, являются всеми возможными инерционными эволюциями изолированных точек материи. В этом отношении классическая физика и ОТО не так уж отличаются.

Утверждения, подобные второму закону Ньютона, формулируются с этим понятием системы отсчета (если кто-то хочет быть полностью строгим).

---

(*) Евклидово пространство $\mathbb E^n$является аффинным пространством,$n$-мерное пространство векторов$T^n$описание переводов в$\mathbb E^n$имеет положительное скалярное произведение.

Мне кажется, что нужна только точка О, нас фактически не волнует основание.

Мы действительно заботимся об основе, очень сильно. В ньютоновской механике вектор смещения между одной точкой и другой в$\mathbb R^3$действительно не зависит от фрейма. Этот вектор смещения вполне может иметь разные представления в разных базах, но все такие векторы смещения по существу являются одним и тем же вектором.

То же самое не относится к производным этих векторов по времени. Производная вектора смещения по времени является величиной, зависящей от системы отсчета и зависящей от линейной и угловой скоростей наблюдателей. Это также относится ко второй производной вектора смещения по времени. Поскольку второй закон Ньютона представляет собой утверждение о вторых производных по времени, то, что векторы смещения по существу одинаковы для всех наблюдателей, не имеет значения.