Каков физический смысл значений слабого ожидания?

В формализме двух состояний Якира Ааронова слабое математическое ожидание оператора А является ⟨ х | А | ψ ⟩ ⟨ х | ψ ⟩ . Это может иметь странные свойства. Если А является эрмитовым, слабое математическое ожидание может быть комплексным. Если А является ограниченным оператором, все абсолютные значения собственных значений которого ограничены λ , слабое ожидание может превышать λ .

Если А знак равно ∑ я λ я п я куда { п я } я является полным ортонормированным набором проекторов, сильное математическое ожидание равно

∑ Дж λ Дж | ⟨ х | п Дж | ψ ⟩ | 2 ∑ я | ⟨ х | п я | ψ ⟩ | 2
что также сбивает с толку, поскольку акт измерения влияет на то, для чего выполняется поствыбор.

В частности,

| ⟨ х | ψ ⟩ | 2 знак равно ∑ я , Дж ⟨ ψ | п я | х ⟩ ⟨ х | п Дж | ψ ⟩ ≠ ∑ я | ⟨ х | п я | ψ ⟩ | 2
в целом.

Что происходит, когда х а также ψ ортогональны?
@RonMaimon, кажется, что вы можете получить сколь угодно большое слабое значение, но в пределе слабой связи, для которого формализм действителен только, вероятность успеха в измерении после выбора п ∼ | ⟨ х | ψ ⟩ | 2 исчезнет.

Ответы (3)

Давайте сначала обсудим, что обычно подразумевается под «слабым измерением». В стандартной схеме измерения фон Неймана измерительный прибор (так называемый «указатель») также рассматривается квантово-механически и описывается состоянием | ф ⟩ . Стрелка связана с измеряемой системой так, что гамильтониан взаимодействия равен ЧАС знак равно грамм А п дельта ( т − т 0 ) , куда А является наблюдаемой, подлежащей измерению, и п импульс указателя. После взаимодействия положение указателя становится коррелированным с собственными значениями наблюдаемой А :

| ψ ⟩ | ф ⟩ → е − я грамм А п | ψ ⟩ | ф ⟩ знак равно ∑ а я | ψ я ⟩ | ф ( Икс − грамм а я ) ⟩ ,
поэтому, измеряя положение указателя, мы можем вывести информацию о а я . Измерение считается «сильным», если ⟨ ф ( Икс − грамм а я ) | ф ( Икс − грамм а к ) ⟩ ∼ дельта я к , то есть различные состояния указателя имеют незначительное перекрытие. Это соответствует стандартному проективному измерению (хорошее описание дано здесь ).

Говорят, что измерение слабо в противоположном пределе, когда связь достаточно слаба, чтобы состояния указателя имели большое перекрытие. Если после взаимодействия поствыбрать систему в состоянии | х ⟩ , состояние указателя:

| ф х ⟩ знак равно ⟨ х | е − я грамм А п | ψ ⟩ | ф ⟩ ≈ ⟨ х | ψ ⟩ е − я грамм А ш п | ф ⟩ ,
куда А ш является слабым значением.

Реальная часть _ А ш соответствует переводу координаты указателя , как в сильном измерении:

⟨ Икс ⟩ знак равно ⟨ Икс ⟩ 0 + грамм р е ( А ш ) ,
а мнимая часть соответствует изменению импульса стрелки :
⟨ п ⟩ знак равно ⟨ п ⟩ 0 + 2 грамм я м ( А ш ) В а р п ,
куда В а р п знак равно ⟨ ф | п 2 | ф ⟩ − ⟨ ф | п | ф ⟩ 2 — начальная дисперсия импульса указателя. Доказательство в самом общем случае можно найти в статье Йожи .

Ключевым моментом является постселекция конечного состояния системы: слабые значения увеличиваются по мере того, как постселектируемое состояние становится почти ортогональным начальному состоянию системы. Это можно рассматривать как своего рода усиление малых смещений указателя из-за слабого взаимодействия за счет отбрасывания почти всех исходов в постотборе.

Требование достоверности слабых измерений

грамм а я | ⟨ х | п я | ψ ⟩ | ≪ | ⟨ х | ψ ⟩ |
а также
грамм а я ≪ 1
где g — сила слабой связи, а а я является i -м собственным значением. Таким образом, слабое ожидание может быть только таким большим, как 1 / грамм в большинстве.

Проблема со сложными математическими ожиданиями легко решается. Если A эрмитов, заменить ⟨ А ⟩ с ℜ { ⟨ х | А | ψ ⟩ ⟨ х | ψ ⟩ } . Если не эрмитов, 1 2 [ ⟨ ψ | А | х ⟩ ⟨ ψ | х ⟩ + ⟨ х | А | ψ ⟩ ⟨ х | ψ ⟩ ] Сделаю.

Что касается значений ожидания, превышающих наибольшее собственное значение, это возможно для ⟨ х | п я | ψ ⟩ а также ⟨ х | п Дж | ψ ⟩ иметь противоположные знаки, т. я ≠ Дж , при этом одновременно λ я а также λ Дж также имеют противоположные знаки. Это проблема, присущая расширенным вероятностям.

Каков физический смысл значений слабого ожидания?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v