Каков физический смысл суммы двух некоммутирующих наблюдаемых?

Это все еще открытый вопрос об основании квантовых теорий.

Обычно предполагается только, что для каждой пары ограниченных наблюдаемых$A,B$(самосопряженные операторы на комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве) существует третья ограниченная наблюдаемая$C$чьи ожидаемые значения представляют собой суммы ожидаемых значений$A$и$B$, для каждого заданного состояния$\psi$.

С$C=A+B$тривиально удовлетворяет этому требованию, и состояния разделяют наблюдаемые, тогда$A+B$является желаемой наблюдаемой.

Здесь проблема становится двоякой.

С физической стороны естественной проблемой является

как измерить$A+B$?

Другими словами,

Q1 Что такое измерительный прибор для$A+B$если мы знаем те из$A$и$B$?

С математической стороны,

Q2 Как мы можем построить проекционно-значную меру (PVM)$A+B$когда знаешь те из$A$и$B$?

Если$A$и$B$совместимы, ответы элементарны. Что касается первой проблемы, мы можем измерить$A$и$B$о том же состоянии и результате$C$представляет собой сумму результатов$A$и$B$. (Если вместо этого нас интересует состояние после измерения , то ситуация становится намного сложнее и однозначного ответа нет.)

Ответ на второй вопрос, когда наблюдаемые совместимы, легко найти, воспользовавшись совместной PVM$A$и$B$.

Если$A$и$B$несовместимы , однозначного ответа , особенно на первый вопрос, нет. Однако, если$A$и$B$принадлежат алгебрам Ли образующих группы симметрии рассматриваемой физической системы, то и$A+B$является генератором симметрии (здесь мы имеем дело с неограниченными наблюдаемыми, определенными на общей плотной области существенной самосопряженности). В таком случае$A+B$имеет конкретный физический смысл, и инструмент измерения должен быть подсказан физикой.

Что касается последнего вопроса (чтобы найти PVM$A+B$с точки зрения ПВМ$A$и$B$для несовместимых наблюдаемых), в сотрудничестве с двумя коллегами мы недавно опубликовали статью об этом, которая также включает случай неограниченных несовместимых наблюдаемых.

Существует процедура построения PVM$aA+bB$,$f(aA+bB)$(для достаточно интересного класса функций$f$), а также некоторых других операторов, построенных из$A$и$B$как их продукт Иордании$\frac{1}{2}(AB+BA)$.

В заключительной части статьи представлены некоторые предложения по первому вопросу.

Н. Драго, С. Маццукки, В. Моретти: Операционная конструкция суммы двух некоммутирующих наблюдаемых в квантовой теории и родственные конструкции . Мат. Phys , 110 (2020) 3197–3242 DOI: 10.1007/s11005-020-01332-7 arxiv.org/abs/1909.10974

Окончательная, на мой взгляд, весьма наводящая на размышления формула с несколькими гипотезами гласит:

В конечномерном случае интеграл становится суммой собственных значений$A$и$B$а ФВМ состоят из проекторов на соответствующие собственные пространства.

Вашему вопросу не хватает фокуса. Все, что я могу сделать, это привести пример суммы некоммутирующих операторов, которая имеет физический смысл. Кинетическая энергия$p^2/2m$и потенциал электромагнитного взаимодействия$V$не коммутируют и вместе образуют гамильтониан Шрёдингера.

Если$Spec(A) = \{ a_1, a_2 \}$и$Spec(B) = \{b_1, b_2\}$тогда парный эксперимент имеет спектр$\{ a_1 + b_1, a_1 + b_2, a_2 + b_1, a_2 + b_2 \}$.

Я не думаю, что это даже формально правильно. Брать$A = s_z = \frac\hbar2\left(\begin{array}{}1&0\\0&-1\end{array}\right)$и$B = s_x = \frac\hbar2\left(\begin{array}{}0&1\\1& 0\end{array}\right)$. Вычислить спектр$A+B$и убедитесь, что это не удовлетворяет вашему условию.

Чтобы ответить на вопрос в контексте этого примера: физический смысл$A+B$– измерение вращения вдоль$\vec{n}_x + \vec{n}_z$ось (умножается на$\sqrt{2}$, быть педантичным)

То, что вы называете «наивным подходом», имеет дело с двумя экспериментами с частицами (отсюда и космическое пространство).$H\otimes H$) и то, что вы описываете, на самом деле является измерением$A+B$как ярлык для оператора$A\otimes \mathbb{I}+\mathbb{I}\otimes B$, для состояния продукта$\vert\phi\rangle\otimes \vert\phi\rangle$, где$\mathbb{I}$является личностью$H$. Его ожидаемое значение равно$\langle \phi \vert A\vert\phi\rangle +\langle \phi \vert B\vert\phi\rangle$( с использованием$\langle \phi \vert \mathbb{I}\vert\phi\rangle=1$) независимо от сопоставимости или нет$A$и$B$. Поскольку у вас есть состояние продукта, измерение$A$на частице 1 не может повлиять на измерение$B$на частице 2. ($A\otimes \mathbb{I}$и$\mathbb{I}\otimes B$коммутировать для любого$A$и$B$).

Если теперь вам нужно измерить сумму$A+B$для одной частицы предсказание будет включать условные вероятности, такие как$p(b|a)$(при условии$b$является одним из результатов$B$и$a$результат$A$полученные ранее) и они упрощаются только тогда, когда$A$и$B$добираться. Это не дает возможности измерить$A+B$но объясните, почему ожидаемый результат отличается.

Математически последовательное измерение$A$и$B$имеет ожидаемую ценность

После расширения первый член просто$\langle \phi \vert A\vert\phi\rangle$и второй, используя$\sum_b b P_b =B$является

Тем не менее, в этой схеме выходным состоянием будет собственный вектор$B$и не из$A+B$...

Если$A$и$B$коммутируют, они имеют общие собственные состояния, и они также являются собственными состояниями$(A+B)$: измерение «А+В» даст тот же результат, что и измерение «А», а затем «В» (или «В», а затем «А»). Оператор$(A+B)$соответствует наблюдаемому, которое вы ожидаете: измерение суммы «A» и «B» в одном измерении такое же, как сумма отдельных (параллельных) измерений «A», а затем «B».

Если$A$и$B$не коммутируют, то собственные состояния$(A+B)$обычно не делятся с$A$или$B$. Оператор$(A+B)$по-прежнему соответствует наблюдаемому$(A+B)$но это уже не то же самое, что измерение$A$а потом$B$. Если у вас есть измерительная машина «А» и измерительная машина «В», вам нужна совершенно новая измерительная машина «А+В», и удивительный факт о квантовой механике состоит в том, что возможные результаты этой машины не такие, как возможные значения, которые вы можете сформировать из сложения возможных результатов машины «А» с возможными результатами машины «Б».

Чтобы убедить вас, почему$(A+B)$является оператором для однократного измерения "A+B" подумайте о том, как$\frac{P^2}{2m} + V$является оператором для одного измерения полной энергии, и оператор формируется из физического соотношения, которое мы ожидаем для кинетической и потенциальной энергии. Но возможные результаты измерения полной энергии сильно отличаются от суммы измерения потенциальной энергии, за которой следует измерение кинетической энергии: измерение потенциальной энергии (т. е. положения) полностью «испортит» вашу последующую кинетическую энергию (т. измерения, потому что они не коммутируют.