Каков механизм действия магнитных полей?

Магнитные поля никогда не действуют непосредственно на электрические заряды. Это связано с тем, что магнитная сила, действующая на любую заряженную частицу,

$$\mathbf{F}=q\mathbf{v}\times \mathbf{B,}$$ всегда ортогонален скорости и, следовательно, передаваемой мощности, $\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}$, равно нулю.

С другой стороны, это, похоже, во многом противоречит нашим интуитивным представлениям о том, как ведут себя магниты. Если вы возьмете два магнита и поместите их близко друг к другу, они сцепятся, ускоряясь в процессе, так что определенно что -то работает. Что это за что-то, обычно зависит от того, в какой системе отсчета вы работаете.

Стандартный пример — петля из проволоки, движущаяся относительно магнита, который индуцирует в ней ток. Если вы рассмотрите ситуацию в кадре, где петля неподвижна, то вы увидите изменяющееся магнитное поле; по закону Фарадея это означает, что существует индуцированное электрическое поле, которое ускоряет заряды вокруг контура. С другой стороны, в системе отсчета магнита есть только магнитные поля, поэтому должно быть что-то еще, что оказывается движением петли.

Предположим для простоты, что петля движется по нормали.$\mathbf{n}$. Тогда заряды имеют скорость$\mathbf{v}\propto\mathbf{n}$, и магнитная сила даст им импульс, перпендикулярный этому и, таким образом, вдоль петли. Однако, когда у вас есть такой ток, скорость зарядов имеет составляющую, ортогональную$\mathbf{n}$, и это также повлечет за собой магнитную силу, которая теперь будет$\mathbf{n}$и стремится замедлить петлю. Таким образом, вы создадите ток за счет кинетической энергии петли или за счет работы, выполняемой какой-то дополнительной силой, поддерживающей постоянную скорость. Есть хорошее подробное объяснение этого примера во « Введении в электродинамику » Гриффита (пример 5.3, раздел 5.1; стр. 209 в 3- ^м издании).

Аналогичным образом можно рассматривать и притягивающие магниты. Во-первых, вы можете заменить постоянные магниты петлями тока без потери общности, потому что магнитные поля, которые они создают, на самом деле создаются токами намагничивания на их поверхности. Поместите их достаточно близко, и вы доберетесь до сути проблемы, магнитной силы между двумя проводниками с током .

Рассмотрим тогда два параллельных провода, по которым текут токи в одном направлении, так что они притягиваются и движутся навстречу друг другу. Опять же, в системе отсчета каждого движущегося провода есть электрическое поле, индуцируемое изменяющимся магнитным полем, и оно может совершать работу. С другой стороны, в лабораторной рамке каждый провод движется в магнитном поле другого. Когда они движутся навстречу друг другу, заряды в каждой проволоке имеют составляющую скорости вдоль проволоки и одну вдоль вектора разделения. Второй компонент будет воздействовать на носители заряда магнитной силой, направленной против направления тока; это означает, что вам нужен источник тока, чтобы поддерживать его стабильным (с соответствующей стоимостью энергии), иначе ток в проводах уменьшится.

Таким образом, для магнитов это означает, что намагниченность двух магнитов, которые сцепляются вместе, фактически немного уменьшится в процессе с помощью определенного механизма, который зависит от того, откуда исходит эта намагниченность. Это, впрочем, в принципе временное явление: работа, которую вы совершаете над магнитами, когда вы их раздвигаете, идет, по существу, на восстановление намагниченности.

---

С другой стороны, следует отметить, что, строго говоря, это относится только к заряженным частицам и, в более широком смысле, к системам, состоящим из заряженных частиц. Однако он не распространяется на случай точечных диполей, таких как электроны, для которых фундаментальная сила (и крутящий момент), создаваемая магнитным полем, различна и определяется выражением

$$\mathbf F=\nabla(\boldsymbol \mu·\mathbf B) \quad\text{and}\quad \boldsymbol\tau=\boldsymbol \mu\times\mathbf B .$$ Это оставляет постоянные магниты в немного забавном положении, потому что они в основном состоят из выровненных электронных спинов, поэтому в принципе следует применять это описание.

Однако в полезном описании постоянного магнита вы берете макроскопическое среднее значение локальной плотности магнитного диполя, чтобы получить его намагниченность.$\mathbf M$, и в процессе перестаешь заботиться откуда берется намагниченность. Что касается классической электродинамики (и если вы не хотите возиться с отдельными атомами внутри нее), постоянный магнит — это просто материал с постоянной намагниченностью.$\mathbf M$, все взаимодействия которого с другими зарядами и токами происходят через объемные и поверхностные токи намагничивания ,

$$\mathbf J=\nabla\times\mathbf M \quad\text{and}\quad \mathbf K=\mathbf M \times\hat{\mathbf n} .$$ Если намагниченность однородна, объемной плотности тока нет (каждый объемный диполь «уравновешивается» со своими соседями) и ток намагничивания ограничивается поверхностью. Таким образом, однородно намагниченный брусок железа хорошо моделируется токами намагничивания на его поверхности, и парадокс магнитной работы также может быть решен, как указано выше, - действием наведенного электрического поля или магнитными силами, замедляющими эти токи один раз. происходит движение по нормали к петле.

В конце концов, разница между ними зависит от личного выбора. Как правило, работать с точечными диполями несколько сложнее, и в целом существует несколько ситуаций, которые нельзя смоделировать с помощью электрических токов, поэтому хорошо помнить об этих моделях и их нелогичных свойствах. С другой стороны, вполне вероятно, что физика могла бы работать немного лучше, если бы не забывала подчеркивать, что магнитные поля никогда не воздействуют непосредственно на электрические заряды .

Как утверждает Эмилио Писанти, магнитная сила Лоренца$\boldsymbol{F_m}= q \boldsymbol{v \times B }$не работает, так как$\boldsymbol{F_m \cdot v} = 0$. У меня нет доступа к Гриффиту, но я нахожу обсуждение Фейнмана (в т. II, гл. 15) сбивающим с толку, поскольку он утверждает, что магнитные силы совершают работу над током, а также утверждает, что те же самые силы не работают.

Чтобы увидеть, что происходит (по крайней мере, классически), рассмотрим идеальный провод с нулевым сопротивлением, управляемый источником тока.$I$в магнитном поле$\boldsymbol{B}$. Электрический ток$I$переносится подвижными электронами, отрицательный заряд которых$q_e<0$уравновешивается фиксированной решеткой (гораздо более массивной) положительно заряженных ионов проволоки$q_w>0$, с$q_w=-q_e$для простоты.

Движущиеся по проводу электроны с током (средняя скорость$\boldsymbol{v_e}$) будет отклонен силой Лоренца$\boldsymbol{F_e} = q_e (\boldsymbol{v_e \times B})$. Следовательно, электроны будут иметь тенденцию «скапливаться» на одной стороне провода. Суммарная плотность заряда провода больше не равна нулю, поэтому электрическое поле$\boldsymbol{E}$получается противодействующее отклонению. В стационарном состоянии электрическая сила должна просто уравновешивать силу Лоренца, поэтому результирующая сила, действующая на электроны, равна нулю:

$$\boldsymbol{E} = - (\boldsymbol{v_e \times B})$$

(Это всего лишь эффект Холла.)

Теперь это электрическое поле будет ускорять ионы проволоки, так как на них не действует противодействующая магнитная сила. В самом деле, электрическая сила на ионах проволоки$\boldsymbol{F_w}$точно равна магнитной силе$\boldsymbol{F_e}$по электронам:

$$\boldsymbol{F_w} = q_w \boldsymbol{E} = - q_e \boldsymbol{E} = q_e (\boldsymbol{v_e \times B}) = \boldsymbol{F_e}$$

Ключевое отличие состоит в том, что эта электрическая сила может и будет совершать работу на решетке.

---

Если проволока изначально неподвижна ($\boldsymbol{v_w}=0$), средняя скорость электронов$\boldsymbol{v_e}=\boldsymbol{v_c}$, куда$\boldsymbol{v_c}$параллельно проводу (приращение$\boldsymbol{dl}$) а также

$$|q_e| \, n A_c \, |v_c|=I$$ (с $n$электронная плотность и $A_c$площадь поперечного сечения провода),

затем$\boldsymbol{E=-v_e \times B}$перпендикулярно$d \boldsymbol{l}$, а линейный интеграл от$\boldsymbol{E}$вокруг провода равно 0, поэтому приложенное напряжение равно 0, а источник тока не обеспечивает питание провода. Но это неудивительно, поскольку скорость механической работы, совершаемой каждым ионом решетки, равна$\boldsymbol{F_w \cdot v_w}=0$также.

---

Для ненулевой скорости проволоки$\boldsymbol{v_w}$, скорость электрона$\boldsymbol{v_e}=\boldsymbol{v_c}+\boldsymbol{v_w}$, и будет ненулевая компонента$\boldsymbol{E}$вместе$\boldsymbol{dl}$:

$$\boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{dl} = - (\boldsymbol{v_e \times B}) \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{dl} = - (\boldsymbol{v_w \times B}) \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{dl}$$

поэтому электрическая мощность$P_e$подается от источника тока:

$$P_e = VI = I \int -\boldsymbol{E \cdot dl} = I \int \boldsymbol{( v_w \times B ) \cdot dl}$$

Механическая сила$P_m$применительно к проволоке представляет собой сумму мощностей отдельных ионов:

$$P_m = \sum \boldsymbol{F_w \cdot v_w} = q_m n \int \boldsymbol{E \cdot v_w} \, dV = - q_m n \int \boldsymbol{(v_e \times B) \cdot v_w} \, dV$$

По векторному тождеству, а так как$\boldsymbol{v_e = v_c + v_w}$а также$q_m = -q_e$,

$$P_m = - q_m n \int \boldsymbol{( B \times v_w) \cdot v_e} \, dV = q_m n \int \boldsymbol{( v_w \times B ) \cdot v_c} \, dV = I \int \boldsymbol{( v_w \times B ) \cdot dl}$$

для тонкой проволоки и$P_m = P_e$.

Это зависит. Общее правило таково:

• (неоднородное) Магнитные поля могут совершать работу над собственными диполями , такими как спин электрона. Действительно, в эксперименте Штерна-Герлаха частицы ускоряются неоднородным магнитным полем. В таких случаях сила$\textbf{F}=\nabla (\textbf{m} \cdot \textbf{B})$куда$\textbf{m}$- магнитный дипольный момент собственного диполя, а$\textbf{B}$это поле оно погружено в него. Обратите внимание, что это явно консервативное силовое поле, и, следовательно, мы можем определить потенциальную энергию$U=-\textbf{m}\cdot \textbf{B}$.

• Однако магнитные поля в целом не могут работать над системами, состоящими из токов . В таких случаях сила, действующая на токи, всегда является силой Лоренца, которая по совпадению для «физического» диполя с соответствующим током оказывается по-прежнему равной$\textbf{F}=\nabla(\textbf{m}\cdot \textbf{B})$. Однако в этом случае сила перпендикулярна скорости частиц, поэтому работа не совершается. Собственные диполи освобождены от этого, потому что они по определению не имеют связанного с ними физического тока.

Следовательно, когда два магнита притягиваются, поскольку большая часть их «магнетизма» исходит из собственного дипольного момента (спина) электронов, магнитное поле действительно совершает работу. Эта хорошая статья показывает, что уменьшение энергии магнитного поля, когда два магнита соединяются вместе, компенсируется увеличением кинетической энергии https://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/mag_energy.pdf .

Однако, когда два электромагнита притягиваются, магнитное поле не совершает работы. Смоделируем два электромагнита как две петли, по которым течет ток.$I_a$а также$I_b$, с собственной индуктивностью$L_a$а также$L_b$, а взаимная индуктивность$M$. Предположим, что верхний контур с током$I_b$фиксируется, и что только нижний шлейф с током$I_a$движется.

Как показано на диаграмме ниже, начальная магнитная сила будет направлена ​​вверх, перпендикулярно току. Никакая работа не ведется. Поскольку носители заряда вынуждены двигаться в проводе, они будут воздействовать на провод силой (не магнитной по своей природе). Следовательно, провод начнет двигаться вверх.

Теперь в тот момент, когда проволока начинает двигаться вверх, заряды также приобретают составляющую скорости.$\textbf{v}^\perp$перпендикулярно их первоначальному движению. Этот компонент создаст горизонтальный компонент$\textbf{F}_{mag}^\perp$магнитной силы, противодействующей протеканию тока. Таким образом, при отсутствии источника токи будут уменьшаться, и работа, совершаемая магнитным полем при этом, точно уравновешивает работу, выполняемую горизонтальной составляющей при подъеме кольца. Следовательно, магнитное поле не совершало бы никакой работы, и мы, конечно, видим это визуально, потому что полная сила$\textbf{F}_{mag}$действительно перпендикулярно полной скорости$\textbf{v}$.

Докажем этот результат. Магнитные потоки через две петли равны:

$$\begin{align} &\Phi_a = L_a I_a + MI_b\\ &\Phi_b = L_b I_b + MI_a \end{align}$$ которые наводят ЭДС в петлях против течения тока: $$\begin{align} &\varepsilon_a = -L_a \frac{dI_a}{dt} - \frac{dM}{dt}I_b - M\frac{dI_b}{dt}\\ &\varepsilon_b = -L_b \frac{dI_b}{dt} - \frac{dM}{dt}I_a - M\frac{dI_a}{dt} \end{align}$$

Таким образом, при отсутствии внешнего источника энергии мы обнаружим, что токи уменьшаются. Тогда скорость, с которой эти ЭДС совершают работу, равна:

$$\begin{align} &\frac{dW_a}{dt} = -L_a\frac{dI_a}{dt}I_a - \frac{dM}{dt}I_bI_a - M\frac{dI_b}{dt}I_a\\ &\frac{dW_b}{dt} = -L_b\frac{dI_b}{dt}I_b - \frac{dM}{dt}I_bI_a - M\frac{dI_a}{dt}I_b \end{align}$$ Обратите внимание, что работа$dW_b$полностью из-за индуцированных электрических полей, ЭДС исходит из закона Фарадея. Вместо этого работа$dW_a$частично представляет собой фарадеевскую ЭДС из-за изменяющихся магнитных полей двух контуров (термин$-L_a\frac{dI_a}{dt}I_a- M\frac{dI_b}{dt}I_a$) и частично ЭДС движения$-\frac{dM}{dt}I_bI_a$что осуществляется горизонтальной составляющей магнитной силы. Суммарная работа, совершаемая ЭДС, равна: $$\begin{equation} \frac{dW_a}{dt}+\frac{dW_b}{dt} = -L_a\frac{dI_a}{dt}I_a-L_b\frac{dI_b}{dt}I_b-2\frac{dM}{dt} I_a I_b - MI_b \frac{dI_a}{dt} + MI_a \frac{dI_b}{dt} \end{equation}$$ При этом изменение энергии поля равно: $$\begin{align} &U = \frac{1}{2}L_aI_a^2 + \frac{1}{2}L_bI_b^2 + MI_aI_b\\ &\frac{dU}{dt} = L_a I_a \frac{dI_a}{dt} + L_a I_b \frac{dI_b}{dt} + MI_b \frac{dI_a}{dt} + MI_a \frac{dI_b}{dt} + \frac{dM}{dt} I_a I_b \end{align}$$ Следовательно, мы можем написать, что $$\begin{equation}\tag{*}\label{energy cons} \frac{dU}{dt} + I_aI_b\frac{dM}{dt} = -\bigg(\frac{dW_a}{dt}+\frac{dW_b}{dt}\bigg) \end{equation}$$ Теперь мы признаем работу$W_g$сделано в подъеме петли в$\eqref{energy cons}$: $$\begin{equation} \frac{dW_g}{dt} = I_aI_b \frac{dM}{dt} \end{equation}$$ чтобы: $$\begin{equation}\tag{**}\label{energy cons2} \frac{dU}{dt} + \frac{dW_g}{dt} = -\bigg(\frac{dW_a}{dt}+\frac{dW_b}{dt}\bigg) \end{equation}$$ Мы также можем переписать$\eqref{energy cons2}$в форме энергосбережения: $$\begin{equation} U + W_g + W_a + W_b = \text{cnst.} \end{equation}$$ Таким образом, при отсутствии источника работа, совершаемая ЭДС (будь то фарадеевская или динамическая) по уменьшению токов, окупается изменением потенциальной энергии и поступательной кинетической энергии (определяемой по формуле$W_g$используя теорему о работе-энергии).

Обратите внимание, что работа, совершаемая вертикальной составляющей магнитного поля на петле, представляет собой только$-I_aI_b\frac{dM}{dt}$срок в$dW_a$что, кстати, является отрицательным значением работы горизонтальной составляющей$dW_g$. Следовательно, как и требовалось, магнитное поле не работает. ЭДС Фарадея в$W_a$а также$W_b$вместо этого несут ответственность за изменение энергии поля$U$. Какая сила вызвала поднятие петли? Вертикальная составляющая$\textbf{F}_{mag}^\parallel$магнитной силы, конечно, но совершала ли магнитная сила работу в целом? Конечно нет.

На петлю b магнитное поле также не действует, так как ЭДС там чисто фарадеевская. Следовательно, работа совершается индуцированным электрическим полем, а не магнитным полем.