Малые колебания тяжелой струны

Я решаю задачу в классической теории поля, и у меня есть некоторые трудности. Я пытаюсь изучить небольшие колебания тяжелой струны с фиксированными точками.

Прежде всего я записал этот лагранжиан:

$$S=\int dt ds \left[\frac{\rho}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-\rho g y(s,t)+\frac{\lambda(s,t)}{2}\left(\left(\frac{\partial x}{\partial s}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial s}\right)^2-1\right)\right]$$

Этот лагранжиан описывает тяжелую струну с закрепленными концами в гравитационном поле. Где$\rho$плотность,$g$ускорение свободного падения ,$s$натуральный параметр .

Итак, у меня есть 3 уравнения из уравнений Эйлера-Лагранжа .

$$\rho\ddot{x}+\frac{d}{ds}\left(\lambda(s,t)\frac{\partial x}{\partial s }\right)=0$$ $$\rho\ddot{y}+\frac{d}{ds}\left(\lambda(s,t)\frac{\partial y}{\partial s }\right)+\rho g=0$$ $$\left(\frac{\partial x}{\partial s }\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial s }\right)^2=1$$

После этого я нашел стационарное решение ($\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{\partial \lambda}{\partial t}=0$). (я просто поставил$\ddot{x}=\ddot{y}=0$)

$$y_0(x)=-\frac{C_1}{\rho g}\cosh\left(\frac{\rho g x}{C_1}+C_2\right)$$

Где$C_1,C_2$константы интегрирования (зависит от положения концов строки). А также$\cosh(x)$есть гиперболический косинус .

Для изучения малых колебаний я пытался использовать теорию возмущений .

Итак, я поставил

$$y(s,t)=y_0(s)+\bar{y}(s,t)$$ $$x(s,t)=x_0(s)+\bar{x}(s,t)$$ $$\lambda(s,t)=\lambda_0(s)+\bar{\lambda}(s,t)$$

Но после этого я получаю сложные дифференциальные уравнения, которые не могу решить.

Может быть, кто-то знает более простой подход к решению этой проблемы или знает, как решить ее таким образом?