Затухающий гармонический осциллятор НЕ является диссипативной системой?

Я знаю, это звучит довольно безумно, но так написано в моей книге. Аргумент следующий:

Учитывая затухающий гармонический осциллятор

$$\ddot{q}+\frac{b}{m}\dot{q}+\frac{k}{m}q=0 \tag1$$

эту систему можно записать в гамильтоновой форме следующим образом:

$$H=\frac{p^2}{2m}e^{-bt/m}+\frac{kq^2}{2}e^{bt/m}$$ и, используя уравнения движения Гамильтона, можно проверить, что этот гамильтониан действительно дает нам уравнение $(1)$

Аргумент, почему это не является диссипативным, основан на теореме Лувилля : система не является диссипативной (так они утверждают), потому что ее можно описать каноническим формализмом. То есть решения этой системы

$$q(t)=e^{-bt/2m}\Big(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\Big), \omega=\sqrt{k/m-b^ˇ/4m}$$ и $$p(t)=me^{bt/2m}\Big((B\omega-\frac{b}{2m}A)\cos(\omega t)-(A\omega+\frac{b}{2m}B)\sin(\omega t)\Big)$$

что означало бы, что как$q$становится меньше,$p$становится больше, и, следовательно, площадь в фазовом пространстве сохраняется (как на картинке)

Так как площадь пропорциональна$E/\omega$и$\omega$постоянная$E$!

Это явно неверно, и должно быть какое-то скрытое предположение, которое мы не принимаем во внимание (и оно, вероятно, связано с тем, что$p$со временем экспоненциально увеличивается..) Что это за предположение, что оно пытается мне сказать, определенно не то, что Энергия постоянна в демпфированном осцилляторе, верно?