Какова форма струи воды, выходящей из трубы?

Давайте сначала рассмотрим начальную форму сразу после выхода воды из трубы:

Изначально поток имеет четко определенный радиус кривизны$R$, который мы можем найти, применяя уравнение Эйлера, нормальное к линии тока:

$$\frac{V^2}{R} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial n} - g\frac{\partial y}{\partial n}$$

где$n$— радиальная координата, нормаль к линии тока в струе, отсчитываемая от центра кривизны.

Скажем, диаметр трубы$D$маленький ($R>>D$), затем$\frac{\partial P}{\partial n} \sim 0$так как в трубке потока нет заметного градиента давления.

Также,$\frac{\partial y}{\partial n} = -1$от проверки системы координат.

Это показывает, что локальный радиус кривизны сразу после выхода потока из трубы определяется выражением:

$$R = \frac{V^2}{g}$$

Это определяет круг, заданный (посмотрите на систему координат):

$$x^2 + (R-y)^2= R^2$$

$$x^2 + y^2 = 2Ry$$

Чрезвычайно близко к происхождению,$x^2>>y^2$, так что игнорируйте$y^2$и решить для$y$:

$$y = \frac{x^2}{2R} = g\frac{x^2}{2V^2}$$

где$V$— выходная скорость струи, и я подставил наше предыдущее выражение для$R$.

Этот результат имеет смысл; рассмотрим струю с большой скоростью выхода и обратите внимание, как мы получим параболу с большим фокусным расстоянием, как и ожидалось.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Как форма зависит от давления P и диаметра трубы D?

Какова форма и размер этой дуги в зависимости от D, внутреннего диаметра трубы и P, давления воды?

Оба$D$и$P$влияет на скорость$V$в нашем параболическом уравнении, но конкретное уравнение$V=V(D,P)$зависит от того, что происходит перед выходом трубы.

Чтобы увидеть эффект от$D$, вы могли бы использовать массовую консервацию$A_cV = constant$внутри трубы, где$A_c$- площадь поперечного сечения трубы. Больше$D$поэтому будет меньше$V$и наоборот.

Чтобы увидеть эффект от$P$, вам нужно уточнить, что включает в себя ваша система перед выходом из пайпа. Например, если наша труба представляет собой маленькое отверстие в баке,$V=\sqrt{2 g h}$по уравнению Бернулли, где$h$это расстояние отверстия от дна. Вы можете видеть, что большее гидростатическое давление увеличивается$V$. Если наша труба подключена к насосу эффективности$\eta$, с силой$\dot{W} = \eta Q \Delta P=\eta A_c V \Delta P$, вы можете видеть, как давление влияет$V$снова. Как правило, вы можете видеть, что большее давление на выходе из трубы приводит к большему$V$, что дает нашей параболе большее фокусное расстояние. Наоборот для меньшего давления.

Конкретный ответ на вопрос, как$V$зависит от$D$и$P$зависит от того, что ваша система включает в себя перед выходом из пайпа.

Ваш последний "обнимаемый" комментарий важен. Я постараюсь ответить на этот вопрос качественно.

Предположим, что вода состоит из микроскопических невзаимодействующих частиц (помимо упругих столкновений), скажем, из микроскопических частиц песка. Все эти частицы, вылетающие из трубы со средней горизонтальной скоростью, будут следовать (в среднем) по параболической траектории вниз. Чем больше диаметр трубы, тем дольше часть воды (моделируемая частицами) ближе к верхней части трубы достигает земли, чем часть воды ближе к нижней части. Однако это постоянная величина, которая не влияет на форму падающей массы воды. Частицы на верхней стороне трубы следуют по той же параболе, что и частицы на нижней стороне трубы. Нетрудно видеть, что это приводит к деформациям первоначального круглого сечения воды при выходе из трубы, в форму эллипса для поперечного сечения при ударе о землю. И поскольку частицы не взаимодействуют, приливные силы отсутствуют, поэтому диаметр (длинная ось) эллипса на земле имеет то же значение, что и диаметр первоначального круга. Таким образом, поперечное сечение луча не уменьшается, а остается прежним, потому что плотность частиц уменьшается (в отличие от реальной воды). Частицы на внешней стороне водной массы сумеют ускользнуть, но эффект от этого будет незначительным. Таким образом, в этом случае форма падающего (моделируемого частицами) водяного луча является параболической, а форма, которую луч имеет при попадании на землю, представляет собой эллипс. приливных сил нет, поэтому диаметр (длинная ось) эллипса на земле имеет то же значение, что и диаметр исходного круга. Таким образом, поперечное сечение луча не уменьшается, а остается прежним, потому что плотность частиц уменьшается (в отличие от реальной воды). Частицы на внешней стороне водной массы сумеют ускользнуть, но эффект от этого будет незначительным. Таким образом, в этом случае форма падающего (моделируемого частицами) водяного луча является параболической, а форма, которую луч имеет при попадании на землю, представляет собой эллипс. приливных сил нет, поэтому диаметр (длинная ось) эллипса на земле имеет то же значение, что и диаметр исходного круга. Таким образом, поперечное сечение луча не уменьшается, а остается прежним, потому что плотность частиц уменьшается (в отличие от реальной воды). Частицы на внешней стороне водной массы сумеют ускользнуть, но эффект от этого будет незначительным. Таким образом, в этом случае форма падающего (моделируемого частицами) водяного луча является параболической, а форма, которую луч имеет при попадании на землю, представляет собой эллипс.

Теперь предположим обратное: предположим, что вода состоит из микроскопических частиц, связанных друг с другом маленькими нитями. В этом случае для частицы также существует средняя горизонталь, но помимо столкновений (которые не влияют на среднюю параболическую форму падающей массы воды) все микроскопические частицы притягиваются друг к другу с помощью маленьких пружинок. , а значит, появляются приливные силы, действующие на водную массу. Частицы не удаляются друг от друга, чем дольше они падают, поэтому капли не образуются. Из-за приливных сил нижние части водной массы испытывают усилие, направленное вверх, и, следовательно, достигают дна позже, чем в первом случае, и с теми же поперечным сечением и скоростью, что и начальное сечение и скорость. Это' Это все равно, что выстрелить длинной велосипедной цепью в горизонтальном направлении, позволив ей оторваться от большой, постоянно вращающейся зубчатой ​​передачи в горизонтальном направлении с высокого здания. Очевидно, что форма второго вида воды, выходящей горизонтально из трубы, не имеет формы параболы (как и форма цепи, выходящей горизонтально, после чего она падает на землю).

Итак, приливные силы, которые в вашем случае с реальной падающей массой воды присутствуют , обусловлены вязкостью воды. Хотя число Рейнольдса воды очень велико, форма воды почти параболическая, то есть не параболическая. Поперечное сечение уменьшается по мере приближения балки к полу (плотность воды не меняется), но имеет форму минимального эллипса. Кроме того, из-за приливных сил скорость у земли немного меньше, чем была бы в случае отсутствия приливных сил (или, другими словами, вязкости).

И второй эффект вступает в игру. При определенной скорости ламинарный поток воды становится турбулентным из-за ее вязкости, что позволяет форме падающей воды из трубы отклоняться (из-за внутреннего трения в воде) от формы падающей воды. немного больше от параболы.

Таким образом, from — это почти парабола, т. е. форма непарабола, хотя точную форму я не могу вам сказать. В случае с цепью это может быть контактная сеть. Простой эксперимент, чтобы увидеть, что жидкость с низким числом Рейнольдса не создает параболическую форму, когда вы запускаете пучок материала вертикально, состоит в том, чтобы сделать пучок меда (низкое число Рейнольдса) и пучок воды (высокое число Рейнольдса). ) выходите из горизонтальной трубы того же типа с той же скоростью и сравните две точки на полу (до того, как жидкость с большим числом Рейнольдса распадется), куда они прибывают. Чем «более» параболический (высокое число Рейнольдса), тем дальше луч достигнет земли (измеряется как горизонтальное расстояние между выходом трубы и местом удара на полу). Сложнее будет сравнить окончательные сечения балки.

Еще проще. Я буду использовать систему координат и символы @Drew.

Массовый элемент выходит из сопла в точке$t=0$, скорость$V$.

Немедленно он имеет две составляющие скорости,$V_x$и$V_y$, из которого можно вычислить координаты во времени:

$$V_x=V \Rightarrow x=Vt$$ И из-за гравитации: $$V_y=gt \Rightarrow y=\frac12 gt^2$$ Извлекать$t$:

$$\Rightarrow t=\frac{x}{V}$$

Заменять:

$$\Rightarrow y=g\frac{x^2}{2V^2}$$

У нас есть парабола, как у горизонтально выпущенной пули (например)

А что, если, как в случае с ОП, сопло расположено не горизонтально, а под углом к ​​горизонтали$\theta$?

В этом случае мы разлагаем$V$на его горизонтальную и вертикальную составляющие$V_x$и$V_y$:

$$V_x=V\cos\theta$$ $$V_y=V\sin\theta +gt$$

Затем действуйте, как описано выше.