Какова плотность неподвижной пылевой сферы в ускоряющейся Вселенной?

Уравнения поля Эйнштейна являются локальными , поэтому условия статичности с пространственной однородностью обеспечивают однозначные соотношения между плотностью материи, космологической постоянной и пространственным радиусом кривизны (получаемые из уравнений Фридмана, полагая$\dot a \equiv 0$и$\ddot a \equiv 0$). Глобальная структура решения здесь не имеет значения. Так что да, плотность пыли будет$\rho = \Lambda c^2 / 4\pi G$

Условия соединения на границе пылевой сферы следующие:

1. Метрика, индуцированная на границе с обеих сторон, одинакова. Это означает, что радиус граничной сферы одинаков (обозначим его$R$) в обеих геометриях и той временной составляющей метрики ($g_{tt}$в статических координатах) непрерывна.

2. Статический наблюдатель вблизи границы на внешней стороне SdS является геодезическим. Это означает, что на границе гравитационное притяжение пылевого вещества точно компенсируется отталкиванием за счет космологической постоянной, так что пробная масса, выпущенная с нулевой скоростью в статической системе отсчета, оставалась бы статической. Количественно это означает, что в статических координатах$\frac{d}{dr}g_{tt}=0$на границе. Поскольку свободным параметром раствора SdS является масса$M$, фиксируя радиус соединения$R$исправит внешнюю геометрию.

Для решения SdS$g_{tt} = 1 - \frac{2M} r -\frac{\Lambda r^2} 3$(в единицах с$G=c=1$), поэтому второе условие соединения означает, что

$$M = \frac{\Lambda R^3 } 3 = \frac {4 \pi \rho R^3 } 3 \,.$$ Обратите внимание, что в то время как для малых$R$эту массу можно интерпретировать как массу пыли внутри сферы, для большей$R$пространственная внутренность заметно искривлена, так что внутренний объем больше, чем$\frac{4 \pi R^3 } 3$(гравитационный дефект массы).

Дополнительную информацию об условиях соединения в этой модели можно найти в обширной литературе, посвященной модели Эйнштейна-Штрауса, которая в некотором смысле является инверсией обсуждаемого нами решения: космологическое решение, окружающее пустоту вокруг точечной массы/черной дыры.

Но я пытаюсь понять пределы массовых систем…

В то время как приведенное выше уравнение для$M$не делает его очевидным, на самом деле существует ограничение на массу (а следовательно, и на$R$), поскольку$g_{tt}$функция должна быть положительной при$r=R$. Это означает, что масса должна удовлетворять условию$3 M < \Lambda ^{-\frac12}$. Предельный случай тот же, в котором получается решение Нариаи, поэтому предельной геометрией будет геометрия Нариаи.$dS_2 \times S_2$разрезать по времениподобной геодезической$dS_2$фактор, склеенный со статической лямбда-пылевой вселенной Эйнштейна ($S_3 \times \mathbb{ R}$) разрезать пополам вдоль большой сферы$S_3$. Таким образом, содержание пылевой материи в таком предельном решении составляет ровно половину пылевой материи в статической Вселенной Эйнштейна.