Я думаю, вы заставляете это звучать гораздо более загадочно, чем есть на самом деле. Релятивистская функция распределения

$$f_p = \frac{1}{(2\pi)^3}\exp(-(\mu-u\cdot p)/T)\,$$ куда $u_\alpha$- 4-скорость жидкости, $p_\alpha$- 4-импульс частицы, $T$это температура, а $\mu$это химический потенциал. Это иногда называют распределением Юттнера, и оно имеет очевидные обобщения на статистику Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака.

Это выражение, очевидно, лоренц-инвариантно ($u\cdot p$является скаляром, и поэтому$\mu$и$T$), она сводится к больцмановской в ​​системе покоя жидкости и инвариантна по Галилею для медленно движущихся жидкостей.

Забавные функции Бесселя появляются, если попытаться определить летучесть$e^{\mu/T}$по плотности,$n=N_0$с

$$N_\mu = \int \frac{d^3p}{p^0} p_\mu f_p\, ,$$ потому что теперь ваш нормировочный фактор содержит интегралы по $\exp(-\sqrt{p^2+m^2}/T)$

Дополнительные примечания: после некоторого уговора со стороны OP я посмотрел на Treumann et al. статья (доступна в архиве, http://arxiv.org/abs/1105.2120 ). Сначала я подумал, что это просто излишне сложный перевывод известных результатов, но это не так. Бумага просто неправильная. (Откровенно говоря, это плохой знак, если статья, указывающая на серьезный недостаток релятивистской кинетической теории, опубликована в разделе физики архива и в геофизическом журнале.)

Бумага начинается нормально, замечая, что, поскольку$d^3xd^3p$является лоренц-инвариантным,$f_p$должен быть скаляром. Однако они записывают функцию распределения, которая явно не является скаляром, если только я не предполагаю, что$T$является нулевой компонентой вектора. Даже если бы это можно было устроить, результат неверен, потому что он не является инвариантом Галилея для малых скоростей. Затем он записывает нековариантное выражение для$N_\mu$. Если$f_p$является скаляром,$d^3p p_\mu f_p$не является вектором, и в результате плотность его частиц$N_0$не трансформируется как плотность (правильное выражение я написал выше). С$N_0$неправильно, нормализация$\Lambda$тоже неправильно.

Дополнительные примечания: после дополнительных подталкиваний попытка ответить на исходные вопросы:

1) Исходное распределение Больцмана анизотропно, если скорость жидкости$\vec{u}$не равен нулю (распределение изотропно в системе покоя жидкости), но, по-видимому, вы ищете что-то более общее. Функция распределения вязкой жидкости анизотропна уже в системе покоя жидкости,$f_p=f_p^0 +\delta f_p$с

$$\delta f_p \sim \eta\sigma_{\alpha\beta}p^\alpha p^\beta,$$ куда $\sigma_{\alpha\beta}$— релятивистский тензор деформации. В более общем случае мы можем параметризовать функцию распределения с точки зрения токов и напряжений. Это релятивистская версия метода 13 моментов Града, см., например, http://arxiv.org/abs/1301.2912 . Люди также записали модели для сильно анизотропных функций распределения, см., например, http://arxiv.org/abs/1007.0130 .

2) Температура является скаляром. Это связано с кинетической энергией, приходящейся на одну частицу в системе покоя. Плотность кинетической энергии является компонентой 00 тензора и соответствующим образом преобразуется.

Э. Леманн (J. of Math. Physics 47 023303, 2006) попытался это сделать в своей статье Covariant равновесная статистическая механика (статья также находится в arXiv). Он обнаружил, что его полностью ковариантное распределение стало более плоским, чем нековариантное. Кроме того, в то время как нековариантная статистическая сумма продолжала увеличиваться с температурой, полностью ковариантная статистическая сумма достигла максимума примерно при logT~12.

Несмотря на то, что в полностью ковариантном случае происходит потеря инвариантности числа частиц, все же можно определить плотность энергии, а вместе с ней и температуру в классическом смысле, предполагая термодинамическое равновесие. Однако по мере повышения температуры мы достигнем условий, которые преобладали во Вселенной во время Большого взрыва, и я сомневаюсь, что кто-либо будет утверждать, что это может быть равновесной ситуацией. Физическая непрерывность предполагает, что эффекты будут проявляться постепенно. Температура в максимуме Лемана возникает при коллапсе ядра сверхновых.

Можно воспроизвести основные результаты анализа Лемана (максимальная температура и распределение уплощения), используя простой аргумент, впервые использованный Максвеллом в классическом случае, когда он был еще подростком. То есть мы разбиваем трехмерную функцию распределения на произведение трех одинаковых функций и используем композицию скоростей, чтобы получить вид распределения. Классическая композиция легко заменяется релятивистской с помощью преобразования Лоренца. Результирующее распределение становится плоским при logT~11, после чего оно становится U-образным. На самом деле в подходе Максвелла есть два основных предположения: молекулярный хаос и то, что равновесное распределение должно быть изотропным. Изотропия может быть необходимым условием, но этот результат предполагает, что этого недостаточно.

Отказ от ответственности

Следующий ответ в основном взят из статьи arXiv с номером электронной печати 1512.04015 , написанной Треуманном и Баумйоханном (здесь и далее я буду сокращать ссылки на эту статью как TB15).

Задний план

Хорошо известно, что распределение Максвелла-Юттнера хорошо работает для распределения импульса/энергии с изотропной скалярной температурой$T$. Это распределение обычно применяется к горячей релятивистской плазме. В этом проблема и источник вопроса. Горячая плазма даже в нерелятивистских случаях редко бывает изотропной.

В качестве отступления и для уточнения определений в ТВ15 говорится:

Смысл классики здесь не в том, что исключаются квантовые эффекты, что в горячей плазме и так имеет место из-за оловянности длины теплового кванта.$\lambda_{q} = \sqrt{2 \pi \hbar^{2} / m_{e} T}$. Это означает, что числа частиц сохраняются. Это препятствует образованию и аннигиляции пар и, таким образом, ограничивает температуры ниже, примерно,$T_{e} < 2 m_{e} c^{2} \approx 1 \ MeV$.

Для нерелятивистской плазмы иметь дело с температурной анизотропией легко, потому что кинетическая энергия является аддитивной, как показано в примере би-максвелловского и би-каппа-уравнений в приведенном выше вопросе. В релятивистской плазме энергия имеет дополнительный фактор, зависящий от импульса,$\gamma\left( \mathbf{p} \right)$, который является фактором Лоренца , определяемым как:

$$\gamma\left( \mathbf{p} \right) = \sqrt{ 1 + \left( \frac{ \mathbf{p} }{ m \ c } \right)^{2} } \tag{1}$$ куда $\mathbf{p}$это импульс, $m$- масса покоя частицы, а $c$это скорость света в вакууме. Тогда полную энергию частицы можно определить как: $$\epsilon\left( \mathbf{p} \right) = \gamma\left( \mathbf{p} \right) \ m \ c^{2} \tag{2}$$ Проблема в том, что $\epsilon\left( \mathbf{p} \right)$больше не является аддитивным. Часто анизотропные температуры вводятся в следующем виде: $$\epsilon\left( \mathbf{p} \right) = m \ c^{2} \sqrt{ 1 + \left( \alpha_{\perp} \bar{p}_{\perp} \right)^{2} + \left( \alpha_{\parallel} \bar{p}_{\parallel} \right)^{2} } \tag{3}$$ куда $\bar{p}_{\perp (\parallel)} = c \ p_{\perp (\parallel)}/T_{\perp (\parallel)}$и $\alpha_{\perp (\parallel)} = T_{\perp (\parallel)}/mc^{2}$. Как указано в TB15, этот формат вызывает несколько проблем:

Это препятствует простому определению распределения, выраженного исключительно в$\gamma$принуждение к использованию импульсного распределения. Более того, в показателе релятивистского распределения нормировка на температуру становится произвольной... Еще один аспект касается вопроса, который$\gamma$имеется в виду. Если наблюдатель имеет дело со своей инерциальной системы с движущимся протяженным газообразным или плазменным телом с релятивистским объемным импульсом$\mathbf{P}$задача отличается от той, где относительно покоящийся наблюдатель погружен в объем, где все частицы движутся относительно него с релятивистскими импульсами$\mathbf{p}$. В последнем случае релятивистские эффекты являются внутренними для системы, что в отличие от вышеупомянутого более простого внешнего объемного эффекта...

Отвечать

Они используют подход Клейна-Гордона , потому что спины частиц игнорируются. Таким образом, возведение в квадрат уравнения 2 дает:

$$\begin{align} \epsilon^{2} & = \left[ c \ \mathbf{p} + i \ m \ c^{2} \ \mathbf{e} \right] \cdot \left[ c \ \mathbf{p} - i \ m \ c^{2} \ \mathbf{e} \right] \tag{4a} \\ & = \left( c \ p_{\nu} + i \ m \ c^{2} \ e_{\nu} \right) \delta_{\mu}^{\nu} \left( c \ p^{\mu} - i \ m \ c^{2} \ e^{\mu} \right) \tag{4b} \end{align}$$ куда $\mathbf{p} = \left( p_{\perp} \cos{\phi}, p_{\perp} \sin{\phi}, p_{\parallel} \right)$, $\delta_{\mu}^{\nu}$– тензор Дирака , и $\mathbf{e}$— единичный вектор, который может быть выбран произвольно. TB15 делает несколько выводов о форме уравнения 4b:

Конечно, энергия сохраняет свое скалярное свойство, которое отражается в скалярном скалярном произведении двух выражений в квадратных скобках. Появление мнимого элемента не влияет на энергию. В частности, это не означает никакого демпфирования движения частиц! Однако с помощью приведенной выше факторизации гамильтониан можно разбить на два гамильтониана, линейных по вектору$\mathbf{p}$. Это важно осознать. Он позволяет последовательно вводить анизотропию давления...

Затем они строят тензор давления, предполагая фиксированную скалярную числовую плотность,$N$, и записать его через температуру как:

$$\begin{align} \mathbb{P} & = P_{\perp} \delta_{\mu}^{\nu} + \left( P_{\parallel} - P_{\perp} \right) \delta_{3}^{3} \tag{5a} \\ & = N \left[ T_{\perp} \delta_{\mu}^{\nu} + \left( T_{\parallel} - T_{\perp} \right) \delta_{3}^{3} \right] \tag{5b} \end{align}$$ где направление $3$предполагается вдоль направления квазистатического магнитного поля, $\mathbf{b} = \mathbf{B}/B$а уравнение 5b применимо для идеального газа. Здесь все становится сложно, потому что температура больше не является просто скалярной величиной, поэтому мы не можем просто делить на нее, как это было сделано в уравнении 3 выше. Если тензор давления обратим, как и должно быть, то имеем: $$\begin{align} \mathbb{P}^{-1} & = N^{-1} \left[ T_{\perp}^{-1} \delta_{\nu}^{\mu} + \left( T_{\parallel}^{-1} - T_{\perp}^{-1} \right) \delta_{3}^{3} \right] \tag{6a} \\ & = N^{-1} \Theta \tag{6b} \end{align}$$ куда $\Theta$является «тензором обратной температуры». Теперь мы можем переписать уравнение 4b как: $$\begin{align} \epsilon^{2} & = \left[ c \ p_{\nu} + i \ m \ c^{2} \ e_{\nu} \right] \Theta_{\mu}^{\nu} \Theta_{\lambda}^{\mu} \left[ c \ p^{\lambda} - i \ m \ c^{2} \ e^{\lambda} \right] \tag{7a} \\ & = \frac{ m^{2} c^{4} }{ T_{\perp}^{2} } \left( \frac{ p^{2} }{ m^{2} c^{2} } + 1 \right) \left( \sin^{2}{\theta} + A^{2} \cos^{2}{\theta} \right) \tag{7b} \end{align}$$ куда $A = T_{\perp}/T_{\parallel}$и $\mathbf{p} = \left( p \sin{\theta}, p \cos{\theta} \right)$(т.е. просто уменьшить импульс до параллельного и перпендикулярного). Если мы определим $\beta_{\perp} = m \ c^{2}/T_{\perp}$и $\psi = A^{2} - 1$(т.е. изотропия подразумевает $\psi = 0$), то мы можем записать анизотропное релятивистское распределение импульса для идеального газа как: $$\begin{align} f\left( \mathbf{p} \right) & = C_{o} exp\left( - \beta_{\perp} \sqrt{ \left( 1 + \frac{ p^{2} }{ m^{2} c^{2} } \right) \left( 1 + \psi \cos^{2}{\theta} \right) } \right) \tag{8a} \\ & = C_{o} exp\left( - \beta_{\perp} \ \gamma\left( p \right) \sqrt{ \left( 1 + \psi \cos^{2}{\theta} \right) } \right) \tag{8b} \end{align}$$

Нормализация

Нормировка относится к скалярной плотности,$N$, и подход приведен в TB15. Они начинают с определения$\beta = \beta_{\perp} \sqrt{ 1 + \psi \cos^{2}{\theta} }$а затем показать:

$$N = 4 \ \pi \ C_{o} \ \left( m \ c \right)^{3} \int_{0}^{1} \ dx \ \frac{ K_{2}\left( \beta\left( x \right) \right) }{ \beta\left( x \right) } \tag{9}$$ куда $K_{2}\left( z \right)$- модифицированная функция Бесселя второго порядка аргумента $z$и интеграл не имеет аналитического решения. Можно переписать уравнение 9 в следующем виде для $C_{o}$предоставлено: $$C_{o} = \frac{ N \ \beta_{\perp} }{ 2 \ \pi \ \left( m \ c \right)^{3} } \left[ \int_{1}^{1 + \psi} \ dz \ \frac{ K_{2}\left( \beta_{\perp} \sqrt{z} \right) }{ \sqrt{z \left( z - 1 \right)} } \right]^{-1} \tag{10}$$ которое также не может быть решено аналитически.

В пределе малой анизотропии (т.е.$\psi < 1$), можно аппроксимировать интеграл в уравнении 9 следующим образом:

$$\int_{0}^{1} \ dx \ \frac{ K_{2}\left( \beta\left( x \right) \right) }{ \beta\left( x \right) } \approx \frac{ 1 }{ 2 \ \beta_{\perp} \sqrt{ \psi } } \left\{ \left[ K_{1}\left( \frac{ \beta_{\perp} }{ 2 } \right) \right]^{2} - \left[ K_{1}\left( \frac{ 1 }{ 2 } \beta_{\perp} \sqrt{ 1 + \psi } \right) \right]^{2} \right\} \tag{11}$$

Все вышеперечисленное предполагает перпендикулярную анизотропию, но аналогичные формы можно найти и для параллельной анизотропии. TB15 также комментирует обобщение, включающее внешние потенциальные поля, но я оставляю это для статьи.

Важная заметка

Приведенные выше выражения применимы только к бозонам . Чтобы включить фермионы , нужно было бы включить в расчеты спин, что значительно увеличило бы сложность проблемы. Как заявил TB15:

Отметим, что аналогичный расчет можно провести и для фермионной плазмы. Тогда, однако, следует обратиться к дираковскому методу расщепления релятивистской энергии. Это приводит к использованию матриц Дирака и значительно более сложных выражений, включающих спин частиц. Фермионные эффекты анизотропии можно ожидать только при очень низких температурах и в очень сильных магнитных полях. Такие ситуации могут возникнуть в квантовом эффекте Холла и при работе с внутренними частями сильно намагниченных объектов, таких как пульсары и магнетары ... Интересный вывод, который можно сделать, состоит в том, что в релятивистских средах температура и ее обратная величина, обычно называемая$\beta = 1/T$следует понимать как векторы. Это следствие тензора давления.

В заключение они отмечают:

Более того, можно было бы подумать, что расщепление энергии дало бы два разных варианта распределения. Однако это не так. Линейность импульса двух векторов энергии не имеет классического смысла. Энергии являются скалярами и не преобразуются, как векторы. Умножение на обратный релятивистский вектор температуры не освобождает это свойство. Линейность привела бы к линейной зависимости показателя степени в распределении, которое больше не является гауссовым и, таким образом, теряет свойство вероятности. При этом каждый из векторов энергии становится комплексным. Эта сложность разрешается в квантовой механике в операторном формализме уравнений Клейна-Гордона и Дирака, но не имеет смысла в классической физике.

Обновления

С момента публикации этого вопроса и ответа на эту тему было опубликовано две рецензируемые публикации: одна Треумана и Баумйоханна [2016] (doi: 10.5194/angeo-34-737-2016 ) и одна Ливадиотиса [2016] (doi: 10.5194 ). /angeo-34-1145-2016 ) (обе статьи находятся в открытом доступе, поэтому платный доступ невозможен). Treumann и Baumjohann [2016] исправили свой результат arXiv и нашли тот же коэффициент нормализации, что и в оригинальной статье Jüttner [1911].

Ливадиотис [2016] более строг в своей трактовке, давая распределение вероятностей:

$$P\left( \mathbf{p}, \Theta \right) = C_{o} \ e^{ - \Theta^{-1} \ \sqrt{ 1 + \sum_{i=1}^{\delta} \tfrac{\Theta}{\Theta_{i}} \left( \tfrac{p_{i}}{m \ c} \right)^{2} } }$$ куда $\delta$число степеней свободы, $\Theta_{i} = \tfrac{k_{B} \ T_{i}}{m \ c^{2}}$– i ^-я составляющая нормированной температуры, $k_{B}$- постоянная Больцмана, а $\Theta = \tfrac{1}{\delta} \ \sum_{i=1}^{\delta} \Theta_{i}$, и $C_{o}$дан кем-то: $$C_{o} = \pi^{\left( \tfrac{ 1 - \delta }{ 2 } \right)} \ 2^{-\left( \frac{ \delta + 1 }{ 2 } \right)} \ \left( m \ c \right)^{-\delta} \ \frac{ \sqrt{ \Theta } }{ K_{\tfrac{ \delta + 1 }{ 2 }}\left( \tfrac{ 1 }{ \Theta } \right) } \ \left[ \prod_{i=1}^{\delta} \ \Theta_{i}^{-1/2} \right]$$ куда $K_{n}\left( x \right)$— функция Макдональда (она же модифицированная функция Бесселя ), $m$- масса частицы, а $c$это скорость света.

В конкретном случае$\delta = 3$и$\left\{ T_{i} \right\}_{i=1}^{3} = \left( T_{\parallel}, T_{\perp} \right)$,$C_{o}$уменьшится до:

$$C_{o} \rightarrow \frac{ \sqrt{ \Theta \ A } \ \beta_{\perp} }{ 4 \pi \ \left( m \ c \right)^{3} \ K_{2}\left( \tfrac{ 1 }{ \Theta } \right) }$$ куда $A = T_{\perp}/T_{\parallel}$и $\beta_{j} = \tfrac{ m \ c^{2} }{ k_{B} \ T_{j} }$.