Какова соответствующая симметрия сохранения энстрофии?

Энстрофия потока определяется следующим образом, где$\boldsymbol\omega$поле завихренности

$$\mathcal{E} = \iint \frac{\boldsymbol \omega^2}{2} \, d\mathbf{S}$$ Энстрофия обращается только в 2-х измерениях. Это связано с тем, что член растяжения вихря $\boldsymbol \omega \cdot \nabla \mathbf{u} = 0$только в 2д. В 3D его можно использовать, чтобы взорвать или уменьшить энтрофию потока.

Мы читаем сохранение энстрофии следующим образом

$$\frac{\partial}{\partial t}\iint \frac{\boldsymbol \omega^2}{2} \, d\mathbf{S} = 0$$ Сохранение энстрофии является результатом косой симметрии в конвективном операторе $c$в его трехлинейной форме следующим образом $$c((u, v), w) = - c((u, w), v)$$ Это связано с тем, что в полном уравнении эволюции энстрофии трехлинейный член исчезает в 2d. $$\frac{\partial}{\partial t}\iint \frac{\boldsymbol \omega^2}{2}d\mathbf{S} = -\frac{\nabla \boldsymbol\omega^2}{\mathrm{Re}} + c((\boldsymbol\omega, \boldsymbol u), \boldsymbol\omega)$$ Что гарантирует сохранение энтропии потока в 2d.