Космология FLRW: две открытые параллельные вселенные из стандартной метрики k=−1k=−1k = -1?

Question

Космология FLRW: две открытые параллельные вселенные из стандартной метрики k=−1k=−1k = -1?

Чам

Мои книги по ОТО ничего не говорят о следующем, и я хотел бы прояснить этот момент.

Рассмотрим только открытую вселенную FLRW; $k = -1$ (также называемая гиперболической вселенной) следующей метрики (примечание: эта метрика дается у Миснера-Торна-Уилера на стр. 722, упр. 27.4, а также у Ландау-Лифшица в конце параграфа 111):

\begin{matrix} (1) & д с^{2} "=" д т^{2} - \frac{а^{2} (т)}{(1 - р^{2} / 4)^{2}} (д р^{2} + р^{2} (д ϑ^{2} + {грех}^{2} ϑ д ф^{2})) . \end{matrix}

$\tag{1} ds^2 = dt^2 - \frac{a^2(t)}{(1 - r^2 /4)^2}\big(dr^2 + r^2 (d\vartheta^2 + \sin^2 {\vartheta} \; d\varphi^2) \big).$ Обычно мы вводим новую радиальную координату:

\begin{matrix} (2) & \tilde{р} "=" \frac{р}{1 - р^{2} / 4}, \end{matrix}

$\tag{2} \tilde{r} = \frac{r}{1 - r^2/4},$ такая, что метрика (1) принимает вид

\begin{matrix} (3) & д с^{2} "=" д т^{2} - а^{2} (т) (\frac{д {\tilde{р}}^{2}}{1 + {\tilde{р}}^{2}} + {\tilde{р}}^{2} (д ϑ^{2} + {грех}^{2} ϑ д ф^{2})), \end{matrix}

$\tag{3} ds^2 = dt^2 - a^2(t) \Big( \frac{d\tilde{r}^2}{1 + \tilde{r}^2} + \tilde{r}^2 \, (d\vartheta^2 + \sin^2 {\vartheta} \; d\varphi^2) \Big),$ или иначе

\begin{matrix} (4) & р "=" 2 танх (х / 2) \end{matrix}

$\tag{4} r = 2 \tanh{(\chi/2)}$ (или

\tilde{r} = \sinh χ

$\tilde{r} = \sinh{\chi}$ ) такой, что

\begin{matrix} (5) & д с^{2} "=" д т^{2} - а^{2} (т) (д х^{2} + {грех}^{2} х (д ϑ^{2} + {грех}^{2} ϑ д ф^{2})) . \end{matrix}

$\tag{5} ds^2 = dt^2 - a^2(t) \big(d\chi^2 + \sinh^2 {\chi} \, (d\vartheta^2 + \sin^2 {\vartheta} \; d\varphi^2) \big).$ Однако эти преобразования координат обходят особенность метрики (1) выше: она имеет координатную особенность в точке

r = 2

$r = 2$ , и по-прежнему действует для

r > 2

$r > 2$ (помните, что метрика (1) описывает изотропное и однородное пространство-время, поэтому кривизна везде регулярна:

0 \leq r < \infty

$0 \le r < \infty$ . Инварианты кривизны даже не зависят от

r

$r$ ). С

\tilde{r}

$\tilde{r}$ должно быть положительным, преобразование (2) справедливо только для

r < 2

$r < 2$ . Кроме того, преобразование (4) определено только в том случае, если

r < 2

$r < 2$ .

Итак, вопрос прост: какая часть пространства-времени описывается $r > 2$ , согласно метрике (1) ? . Является ли это еще одним открытым пространством-временем, «параллельным» части, описанной $r < 2$ ? Или мы должны ограничить себя $r < 2$ только (зачем отказываться $r > 2$ ) ?

Обратите внимание, что метрика (1) инвариантна относительно обращения радиальной координаты:

\begin{matrix} (6) & р "=" 4 / р^{'}, \end{matrix}

$\tag{6} r = 4/r',$ поэтому точки координат

r < 2

$r < 2$ могут быть сопоставлены с точками координат

r > 2

$r > 2$ (там нечто подобное с метрикой Шварцшильда , записанной в изотропных координатах).

Кроме того, правильное радиальное расстояние точки координат $r < 2$ наблюдателю, находящемуся в $r = 0$ легко вычисляется:

\begin{matrix} (7) & Д "=" а (т) п (\frac{2 + р}{2 - р}) \equiv 2 а (т) аргумент танх (р / 2) . \end{matrix}

$\tag{7} \mathcal{D} = a(t) \ln{\Big(\displaystyle{\frac{2 + r}{2 - r}}\Big)} \equiv 2 \, a(t) \arg\tanh{(r/2)}.$ (это просто

D = a (t) χ

$\mathcal{D} = a(t) \, \chi$ если вы сделаете преобразование (4) выше). Это расстояние расходится на

r = 2

$r = 2$ , поэтому мы не можем определить расстояние до точек

r > 2

$r > 2$ .

Правильно ли я говорю, что часть пространства-времени с $r > 2$ можно интерпретировать как несвязанную «параллельную» открытую вселенную, немного похожую на второй лист двухслойного гиперболоида ? (см. картинку там: http://virtualmathmuseum.org/Surface/hyperboloid2/hyperboloid2.html )

Чам

@JohnRennie, нет, это не так! С

k = - 1

$k = -1$ и геометрический фактор

\frac{1}{(1 + к р^{2} / 4)^{2}},

$\frac{1}{(1 + k r^2 /4)^2},$ метрика (1) описывает открытое пространство (гиперболическое). Проверьте свою математику/книги и сравните с метрикой (3), перед которой стоит противоположный знак. $k$ . Я уверен в этом. Замкнутая вселенная определяется для

k = + 1

$k = +1$ , так что это дало бы геометрический фактор

\frac{1}{(1 + р^{2} / 4)^{2}} .

$\frac{1}{(1 + r^2/4)^2}.$ Тогда метрика (3) имеет множитель

\frac{1}{1 - {\tilde{р}}^{2}}

$\frac{1}{1 - \tilde{r}^2}$ для закрытой вселенной.

Чам

Также обратите внимание, что метрики (1) и (3) получают гиперболический

\sinh χ

$\sinh{\chi}$ , при подстановке преобразования координат (4) (или

\tilde{r} = \sinh χ

$\tilde{r} = \sinh{\chi}$ ). Тогда это подразумевает открытую вселенную, а не закрытую (которая нуждается в тригонометрическом анализе) .

\sin χ

$\sin{\chi}$ ) !

Джон Ренни

Ой, извините, я прочитал пост в спешке и неправильно его понял.

Джон Ренни

Разве ваша метрика (1) не является диском Пуанкаре или одним из его многочисленных вариантов?

Чам

@JohnRennie, метрика (1) является вариантом «диска» Пуанкаре (в 3D + времени), если

k = - 1

$k = -1$ , но я думаю, что это не важно (это "просто" имя!). Большинство авторов определяют метрику RW с помощью метрики (3) (метрика (1) менее известна), но простое преобразование радиальных координат дает метрику (1). Миснер-Торн-Уилер дает метрику (1) на странице 722 как «истинную» метрику RW (из статей Робертсона и Уокера 1935–1936 годов). Он имеет много вычислительных преимуществ, поскольку он «изотропен», а его пространственное сечение конформно евклидовой метрике;

d ℓ^{2} = f (r) (d x^{2} + d y^{2} + d z^{2})

$d\ell^2 = f(r)(dx^2 + dy^2 + dz^2)$ .

Джим

Мне любопытно, потому что, просмотрев много текстов, а также интернет-источников, я не могу найти ни одного упоминания об этой метрике (1) с

r^{2} / 4

$r^2/4$ срок. Какой текст вы использовали? Откуда взялась 4? Кроме того, почти каждый источник, который я мог найти, содержал

\frac{1}{(1 + k r^{2})^{2}}

$\frac{1}{(1+kr^2)^2}$ коэффициент применяется только к

d r^{2}

$dr^2$ срок, а не к

d Ω^{2}

$d\Omega^2$ срок. Я предполагаю, что вы выразили это дословно из текста, который вы читали, поэтому я хотел бы знать, какой именно. Чтобы я мог прочитать это для дальнейшего контекста и понимания

Чам

@ Джим, эта метрика указана в Misner-Thorne-Wheeler, а также в Landau-Lifchitz в виде небольшого дополнения или упражнения. Я видел его и в других местах, но я не помню, в какой книге или газете. Все другие книги, которые у меня есть, дают версию (3) (с

1 / (1 - k {\tilde{r}}^{2})

$1/(1 - k \, \tilde{r}^2)$ фактор перед

d {\tilde{r}}^{2}

$d\tilde{r}^2$ . См. разницу в знаке перед

k

$k$ , кстати, это важно). Вы можете применить преобразование радиальных координат, которое я дал, чтобы перейти от одной версии к другой, это очень просто. Цифра 4 немного произвольна, но я оставляю ее, чтобы удовлетворить условности. Снова попробуйте преобразование (2).

Джим

Я решаю конкретную проблему, о которой вы говорите. Я думаю, что были допущены некоторые ошибки в расчетах. Показатели, которые они дают, не имеют коэффициента масштабирования, потому что они включены в

K = k / a^{2} (t)

$K=k/a^2(t)$ . Они также перечисляют метрику в декартовых координатах. В этом,

K

$K$ не ограничивается

K = - 1, 0, + 1

$K=-1,0,+1$ .

K

$K$ может иметь любую величину. Кроме того, если вы замените декартово на сферическое, текст указывает на самой следующей странице, что вы должны получить свой (3) (за исключением того, что должен быть

1 - K r^{2}

$1-Kr^2$ в знаменателе, потому что

K

$K$ по-прежнему включает

a

$a$ .

Джим

Я понимаю, что вы можете преобразовать в сферические координаты, не навязывая это

2 π r

$2\pi r$ будет правильной окружностью, но тогда у вас все еще не будет масштабного коэффициента в числителе и

(1 - \frac{r^{2}}{4 a^{2} (t)})^{2}

$(1-\frac{r^2}{4a^2(t)})^2$ в знаменателе. На что вы могли бы указать, что если

r > 2 a (t)

$r>2a(t)$ , возникает тот же вопрос. Разница в том, что в данном случае

a

$a$ в единицах длины, что в большинстве случаев делает невозможным

r > 2 a

$r>2a$ . Мне нужно продолжать читать об этом, но я думаю, что это причина, по которой больше нет проблем, связанных с этим, и я готов поспорить, что это упоминается в статьях Робертсона и Уокера.

Джим

Даже в учебнике, ранее на странице, упоминается

a (t)

$a(t)$ иногда в этом формализме его называют «радиусом вселенной». Как я уже сказал, я рассмотрю это еще немного, но готов поспорить, что это не настоящая проблема из-за того, как определяется каждый элемент. Скорее всего, этот вопрос сводится к вопросу: «Что произойдет, если одна координата больше, чем она сама?»

Чам

@ Джим, нигде нет ошибки. Масштабный коэффициент обычно не учитывается для удобства, и он не имеет значения для обсуждаемой здесь темы. Вы можете установить его на 1, если хотите. В книге МТВ

K

$K$ можно усваивать с помощью

K = \pm | K |

$K = \pm \, |K|$ , а затем впитывая

| K |

$|K|$ в радиальную координату. Итак, вы остались с

k = \pm 1, 0

$k = \pm 1, 0$ только (как то, что MTW показывает в своей книге). На мой взгляд, метрика (1) должна быть гораздо более показана и известна. Обязательно четко видеть разницу в факторах

1 / (1 + k r^{2} / 4)^{2}

$1/(1 + k \, r^2 / 4)^2$ (глобальный фактор) и

1 / (1 - k {\tilde{r}}^{2})

$1/(1 - k \, \tilde{r}^2)$ .

Ответы (1)

Космология FLRW: две открытые параллельные вселенные из стандартной метрики k=−1k=−1k = -1?

@JohnRennie, нет, это не так! С $k = -1$ и геометрический фактор $\frac{1}{(1 + к р^{2} / 4)^{2}},$ $\frac{1}{(1 + k r^2 /4)^2},$ метрика (1) описывает открытое пространство (гиперболическое). Проверьте свою математику/книги и сравните с метрикой (3), перед которой стоит противоположный знак. $k$ . Я уверен в этом. Замкнутая вселенная определяется для $k = +1$ , так что это дало бы геометрический фактор $\frac{1}{(1 + р^{2} / 4)^{2}} .$ $\frac{1}{(1 + r^2/4)^2}.$ Тогда метрика (3) имеет множитель $\frac{1}{1 - {\tilde{р}}^{2}}$ $\frac{1}{1 - \tilde{r}^2}$ для закрытой вселенной.
Также обратите внимание, что метрики (1) и (3) получают гиперболический $\sinh{\chi}$ , при подстановке преобразования координат (4) (или $\tilde{r} = \sinh{\chi}$ ). Тогда это подразумевает открытую вселенную, а не закрытую (которая нуждается в тригонометрическом анализе) . $\sin{\chi}$ ) !
Ой, извините, я прочитал пост в спешке и неправильно его понял.
Разве ваша метрика (1) не является диском Пуанкаре или одним из его многочисленных вариантов?
@JohnRennie, метрика (1) является вариантом «диска» Пуанкаре (в 3D + времени), если $k = -1$ , но я думаю, что это не важно (это "просто" имя!). Большинство авторов определяют метрику RW с помощью метрики (3) (метрика (1) менее известна), но простое преобразование радиальных координат дает метрику (1). Миснер-Торн-Уилер дает метрику (1) на странице 722 как «истинную» метрику RW (из статей Робертсона и Уокера 1935–1936 годов). Он имеет много вычислительных преимуществ, поскольку он «изотропен», а его пространственное сечение конформно евклидовой метрике; $d\ell^2 = f(r)(dx^2 + dy^2 + dz^2)$ .
Мне любопытно, потому что, просмотрев много текстов, а также интернет-источников, я не могу найти ни одного упоминания об этой метрике (1) с $r^2/4$ срок. Какой текст вы использовали? Откуда взялась 4? Кроме того, почти каждый источник, который я мог найти, содержал $\frac{1}{(1+kr^2)^2}$ коэффициент применяется только к $dr^2$ срок, а не к $d\Omega^2$ срок. Я предполагаю, что вы выразили это дословно из текста, который вы читали, поэтому я хотел бы знать, какой именно. Чтобы я мог прочитать это для дальнейшего контекста и понимания
@ Джим, эта метрика указана в Misner-Thorne-Wheeler, а также в Landau-Lifchitz в виде небольшого дополнения или упражнения. Я видел его и в других местах, но я не помню, в какой книге или газете. Все другие книги, которые у меня есть, дают версию (3) (с $1/(1 - k \, \tilde{r}^2)$ фактор перед $d\tilde{r}^2$ . См. разницу в знаке перед $k$ , кстати, это важно). Вы можете применить преобразование радиальных координат, которое я дал, чтобы перейти от одной версии к другой, это очень просто. Цифра 4 немного произвольна, но я оставляю ее, чтобы удовлетворить условности. Снова попробуйте преобразование (2).
Я решаю конкретную проблему, о которой вы говорите. Я думаю, что были допущены некоторые ошибки в расчетах. Показатели, которые они дают, не имеют коэффициента масштабирования, потому что они включены в $K=k/a^2(t)$ . Они также перечисляют метрику в декартовых координатах. В этом, $K$ не ограничивается $K=-1,0,+1$ . $K$ может иметь любую величину. Кроме того, если вы замените декартово на сферическое, текст указывает на самой следующей странице, что вы должны получить свой (3) (за исключением того, что должен быть $1-Kr^2$ в знаменателе, потому что $K$ по-прежнему включает $a$ .
Я понимаю, что вы можете преобразовать в сферические координаты, не навязывая это $2\pi r$ будет правильной окружностью, но тогда у вас все еще не будет масштабного коэффициента в числителе и $(1-\frac{r^2}{4a^2(t)})^2$ в знаменателе. На что вы могли бы указать, что если $r>2a(t)$ , возникает тот же вопрос. Разница в том, что в данном случае $a$ в единицах длины, что в большинстве случаев делает невозможным $r>2a$ . Мне нужно продолжать читать об этом, но я думаю, что это причина, по которой больше нет проблем, связанных с этим, и я готов поспорить, что это упоминается в статьях Робертсона и Уокера.
Даже в учебнике, ранее на странице, упоминается $a(t)$ иногда в этом формализме его называют «радиусом вселенной». Как я уже сказал, я рассмотрю это еще немного, но готов поспорить, что это не настоящая проблема из-за того, как определяется каждый элемент. Скорее всего, этот вопрос сводится к вопросу: «Что произойдет, если одна координата больше, чем она сама?»
@ Джим, нигде нет ошибки. Масштабный коэффициент обычно не учитывается для удобства, и он не имеет значения для обсуждаемой здесь темы. Вы можете установить его на 1, если хотите. В книге МТВ $K$ можно усваивать с помощью $K = \pm \, |K|$ , а затем впитывая $|K|$ в радиальную координату. Итак, вы остались с $k = \pm 1, 0$ только (как то, что MTW показывает в своей книге). На мой взгляд, метрика (1) должна быть гораздо более показана и известна. Обязательно четко видеть разницу в факторах $1/(1 + k \, r^2 / 4)^2$ (глобальный фактор) и $1/(1 - k \, \tilde{r}^2)$ .

Чам · Answer 1

Я думаю, что нашел полное и ясное понимание второй вселенной в метрике RW (1), показанной в вопросе. Это действительно второй лист двухслойного гиперболоида.

Для $k = -1$ , стандартная метрика RW выводится почти каждым автором как псевдосфера (на самом деле гиперболоид с двумя листами ) уравнения

\begin{matrix} (1) & {ты}^{2} - {Икс}^{2} - у^{2} - г^{2} "=" а^{2}, \end{matrix}

$\tag{1} u^2 - x^2 - y^2 - z^2 = a^2,$ погруженный в фиктивное плоское пространство псевдоевклидовой метрики

\begin{matrix} (2) & д ℓ^{2} "=" - д {ты}^{2} + д {Икс}^{2} + д у^{2} + д г^{2} . \end{matrix}

$\tag{2} d\ell^2 = -\: du^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2.$ Уравнение (1) аналогично специальному релятивистскому соотношению массовой оболочки

E^{2} - p_{x}^{2} - p_{y}^{2} - p_{z}^{2} = m^{2}

$E^2 - p_x^2 - p_y^2 - p_z^2 = m^2$ (два листа гиперболоида).

Большинство авторов используют частичную параметризацию, описывающую только половину гиперповерхности (1):

\begin{aligned} (3) & ты (х, ϑ, ф) & "=" а чушь х, \\ Икс (х, ϑ, ф) & "=" а грех х грех ϑ потому что ф, \\ у (х, ϑ, ф) & "=" а грех х грех ϑ грех ф, \\ г (х, ϑ, ф) & "=" а грех х потому что ϑ . \end{aligned}

$\begin{align}\tag{3} u(\chi, \vartheta, \varphi) &= a \cosh{\chi}, \\[6pt] x(\chi, \vartheta, \varphi) &= a \sinh{\chi} \, \sin{\vartheta} \, \cos{\varphi}, \\[6pt] y(\chi, \vartheta, \varphi) &= a \sinh{\chi} \, \sin{\vartheta} \, \sin{\varphi}, \\[6pt] z(\chi, \vartheta, \varphi) &= a \sinh{\chi} \, \cos{\vartheta}. \end{align}$ Как видите, эта параметризация предполагает

u \geq a

$u \ge a$ , а уравнение (1) также допускает такую же параметризацию с

u \leq - a

$u \le -\, a$ (изменение знака

u

$u$ в (3)). Когда вы подставляете параметризацию (3) в плоскую метрику (2), вы получаете пространственное сечение стандартной метрики RW с

k = - 1

$k = -1$ и

0 < χ < \infty

$0 < \chi < \infty$ :

\begin{matrix} (4) & д с^{2} "=" д т^{2} - а^{2} (т) (д х^{2} + {грех}^{2} х (д ϑ^{2} + {грех}^{2} ϑ д ф^{2})) . \end{matrix}

$\tag{4} ds^2 = dt^2 - a^2(t) \big( d\chi^2 + \sinh^2 \chi \, (d\vartheta^2 + \sin^2 \vartheta \; d\varphi^2) \big).$ Так что это только половина гиперболоида , что равносильно выбору топологии (то есть удалению второй части фиктивной гиперповерхности). Но тогда легко доказать, что приведенная ниже полная метрика Робертсона-Уокера с

r < 2

$r < 2$ и

r > 2

$r > 2$ , на самом деле описывает полный гиперболоид (1) (т.е. два его несвязных листа):

\begin{matrix} (5) & д с^{2} "=" д т^{2} - \frac{а^{2} (т)}{(1 - \frac{1}{4} р^{2})^{2}} (д р^{2} + р^{2} (д ϑ^{2} + {грех}^{2} ϑ д ф^{2})) . \end{matrix}

$\tag{5} ds^2 = dt^2 - \frac{a^2(t)}{(1 - \frac{1}{4} \; r^2)^2} \big( dr^2 + r^2 (d\vartheta^2 + \sin^2 \vartheta \; d\varphi^2) \big).$ Координатная сингулярность в

r = 2

$r = 2$ это просто зазор между обоими листами двойного гиперболоида. Связь между координатами

r

$r$ и

u

$u$ это (

a

$a$ здесь рассматривается как константа, как в уравнении (1) и параметризации (3)) :

\begin{matrix} (6) & р "=" 2 \sqrt{\frac{ты - а}{ты + а}} . \end{matrix}

$\tag{6} r = 2 \, \sqrt{\displaystyle{\frac{u - a}{u + a}}}.$ На самом деле это очень просто. Нет ни странностей, ни загадок. Метрика (5) полностью согласуется с уравнением (1). Таким образом, в качестве топологического выбора у вас действительно могут быть две несвязанные гиперболические вселенные (т.е. «параллельные» вселенные), описываемые естественным расширением метрики (5) на все доступные значения радиальной координаты.

РЕДАКТИРОВАТЬ: я добавляю несколько забавных предположений. В приведенном выше анализе обе вселенные листа расширяются с одинаковой скоростью (один и тот же масштабный коэффициент $a(t)$ для обоих гиперболических листов).

Могут ли эти листы быть простым примером бран в контексте классической общей теории относительности?
Могут ли они быть «обратными» друг другу, то есть один из материи, а другой из антиматерии?
Можем ли мы обобщить их на два листа с разными коэффициентами масштабирования, расширяющимися с разной скоростью; $a_{+}(t)$ и $a_{-}(t)$ , значит, у них разное количество или тип материи? Как в этом случае выглядело бы «обобщение» метрики RW (5)?

Я предполагаю, что ответ «Да» на 1 и 2. В случае вопроса 3 это может быть тривиально; просто измените коэффициент масштабирования на функцию, зависящую от положения: $a(t, \, r) = a_{+}(t) \; \text{if} \; r < 2$ и $a_{-}(t) \; \text{if} \; r > 2$ .

Космология FLRW: две открытые параллельные вселенные из стандартной метрики k=−1k=−1k = -1?

Чам

Чам

Чам

Джон Ренни

Джон Ренни

Чам

Джим

Чам

Джим

Джим

Джим

Чам

Ответы (1)

Чам

Система координат FRW расширяется вместе со Вселенной?

Как правильное расстояние связано с метрикой Робертсона-Уокера?

Означает ли нынешнее ускорение Вселенной, что наша Вселенная открыта?

Какое расстояние может пройти предмет по прямой?

Применимость зависящей от времени метрики для расширяющейся Вселенной

Вызвал ли Большой взрыв гравитационный толчок наружу?

Метрика Шварцшильда в расширяющейся Вселенной

Как размер Вселенной может меняться со временем, если время является частью Вселенной?

Метрика FRW и ее достоверность на протяжении всей эпохи Вселенной

Как критическая плотность влияет на расширение Вселенной, если гравитация — это искривление пространства-времени?