Каково интуитивное объяснение экваториальной выпуклости с использованием сил?

Экваториальное выпячивание планеты вызвано сочетанием гравитации и центробежной силы. Чтобы показать это, я сначала сделаю несколько предположений:

• Предполагается, что планеты состоят из жидкости постоянной плотности.
• Вся жидкость покоится относительно самой себя, а это означает, что внутри жидкости нет касательных напряжений, поскольку это вызвало бы течение.
• Экваториальное выпячивание небольшое, так что ускорение под действием силы тяжести,$\vec{a}_g$, на поверхности можно аппроксимировать:$\vec{a}_g=-G\frac{M}{\|\vec{x}\|^3}\vec{x}$, где$G$гравитационная постоянная,$M$масса планеты и$\vec{x}$положение на поверхности относительно центра масс планеты.
• Планета осесимметрична и вращается вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью$\omega$.

Небольшой объем,$dV$, испытывает два объемных ускорения, а именно гравитационное и центробежное, и нормальные силы со стороны соседней жидкости в термальном давлении. Сумма всех ускорений на$dV$должны в сумме равняться нулю, чтобы соответствовать второму предположению (центробежное ускорение уже объясняет тот факт, что система отсчета вращается). В любой точке поверхности есть постоянное давление, потому что над ней был бы космический вакуум. Это означает, что соседние жидкости, также находящиеся на поверхности, имеют такое же давление и поэтому не могут оказывать друг на друга никакой силы в плоскости поверхности. Единственное направление, в котором жидкости могут воздействовать друг на друга, — это нормальное направление к поверхности. Однако сумма всех ускорений по-прежнему должна равняться нулю, и поэтому сумма гравитационного и центробежного ускорений также должна указывать в направлении нормали к поверхности.

Величина гравитационного ускорения,$a_g$, определяется предположением три, и его направление всегда радиально внутрь. Величина центробежного ускорения,$a_c$, равно:

$$a_c = \omega^2 \sin\phi\ \|\vec{x}\|,$$

где$\phi$равно$\pi/2$минус широта; его направление всегда параллельно плоскости экватора, а линия его действия всегда проходит через ось вращения. Эти ускорения показаны на рисунке ниже.

В следующей части я определю локальные единичные векторы$\vec{e}_r$и$\vec{e}_t$, где$\vec{e}_r$указывает в локальном радиальном направлении наружу и$\vec{e}_t$перпендикулярна к ней, лежит в плоскости, натянутой на ось вращения и$\vec{x}$и смотрит в сторону, ближайшую к экватору. Направление векторов также соответствует серым векторам на рисунке выше. Используя эти единичные векторы, векторная сумма гравитационного и центробежного ускорения может быть записана как

$$\vec{a}_g + \vec{a}_c = \vec{e}_r \left(\omega^2 \sin^2\!\phi\ \|\vec{x}\| - G\frac{M}{\|\vec{x}\|^2}\right) + \vec{e}_t\ \omega^2 \sin\phi\ \cos\phi\ \|\vec{x}\|.$$

Если бы не было выпуклости, то вектор нормали всегда должен указывать радиально наружу. Однако вектор нормали должен указывать в направлении, противоположном приведенному выше уравнению, что означает, что для$\omega>0$он не будет указывать в том же направлении, что и$-\vec{e}_r$для всех значений$\phi$. Это означает, что поверхность будет иметь небольшой уклон,$\alpha$, относительно$\vec{e}_t$

$$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{\omega^2 \sin\phi\ \cos\phi\ \|\vec{x}\|}{G\frac{M}{\|\vec{x}\|^2} - \omega^2 \sin^2\!\phi\ \|\vec{x}\|}\right).$$

Наклон означает изменение высоты и, следовательно, радиуса при смещении по горизонтали. Чтобы упростить выражение,$r$заменит$\|\vec{x}\|$. Для склона$\alpha$изменение радиуса,$dr$, для небольшого изменения в$\phi$,$d\phi$, будет равно:

$$dr = \tan\alpha\ r\ d\phi.$$

Подставив в уравнение для$\alpha$можно получить следующее дифференциальное уравнение

$$\frac{dr}{d\phi} = \frac{\omega^2 \sin\phi\ \cos\phi\ r^2}{G\frac{M}{r^2} - \omega^2 \sin^2\!\phi\ r} .$$

Когда$\phi$равно$0$или$\frac{\pi}{2}$, полюса и экватор соответственно, это уравнение будет равно нулю, однако для любого промежуточного значения оно будет положительным, поскольку, когда знаменатель станет отрицательным, это будет означать, что центробежная сила будет больше силы тяжести, и жидкость будет выброшена в космос. Таким образом, эта планета будет иметь наименьший радиус вблизи полюсов, после чего радиус будет увеличиваться с$\phi$пока не достигнешь экватора.

В википедии есть статья, описывающая эффект http://en.wikipedia.org/wiki/Equatorial_bulge .

В основном выпуклость вызвана вращением Земли. Центростремительная сила определяется выражением$F=m\omega^2 r$. Поэтому полюса ощущают меньшую силу, чем экватор, который стремится раскрутиться в диск. Это уравновешивается гравитацией, которая хочет, чтобы Земля была сферической.

Математически сплющивание Земли

$$f = \frac{5}{4} \frac{\omega^2r_a^3}{GM}$$ где $r_a$средний радиус и $f$- отношение большого и малого радиусов.

Если вы когда-нибудь видели, как пиццу готовят вручную, то знаете, что когда пекарь подбрасывает диск теста в воздух, он заставляет его вращаться. Когда он это делает, «диск» пиццы становится больше, потому что тесто снаружи испытывает большую центробежную силу (во вращающейся системе отсчета пиццы. Не начинайте с «такой вещи нет», вы просили интуитивный ответ).

Теперь подумайте о земле как о той пицце. Частицы земли вблизи экватора (на большем расстоянии от оси вращения) ощущают большую силу и поэтому пытаются двигаться наружу. Сила тяжести пытается оттянуть его назад. Баланс представляет собой слегка искаженную сферу: «выпуклость».

Достаточно просто, я надеюсь.