Каково замедление времени между Марсом и Землей из-за разницы масс?

Из моего ответа на солнечный зонд Parker, проходящий очень близко к Солнцу; какие релятивистские эффекты он испытает и насколько велики они будут? :

Отсюда (или здесь , если вы амбициозны) члены самого низкого порядка для релятивистского сдвига частоты часов на орбите вокруг гравитационного тела :

$$\frac{\Delta f}{f} \approx -\frac{\Phi}{c^2} - \frac{v^2}{2c^2} = -\frac{GM}{r c^2} - \frac{v^2}{2c^2},$$

где первый член — это гравитационный сдвиг, а второй — замедление времени.

Подключаем стандартный гравитационный параметр $GM$и радиус$r$Марса в срок$-\frac{GM}{r c^2}$У меня 1.4Е-10.

Это означает, что смещение хода часов из-за гравитации на поверхности Марса составляет -0,14 части на миллиард. Для Земли это -0,69 частей на миллиард.

Но проблема сложнее. Итак, давайте включим еще несколько поправочных терминов.

Марс и Земля быстро движутся по орбите вокруг Солнца и находятся в гравитационном потенциале Солнца. Давайте посмотрим на относительные размеры этих терминов:

                              All values x1E-09
        local gravity  local rotation     Sun's gravity      orbital velocity 
Mars       -0.140          -0.0003            -6.478                -3.239
Earth      -0.695          -0.001             -9.870                -4.935

Чтобы ответить на вопрос: -0,140 минус -0,695 равно +0,555 частей на миллиард , только из-за местного планетарного притяжения; на Марсе все происходит быстрее, чем на Земле, на 555 частей на триллион.

Но большие эффекты связаны с гелиоцентрическими орбитами.

-0,140 + -0,0003 + -6,478 + -3,239 минус -0,695 + -0,001 + -9,870 + -4,935 дает +5,644.

В целом: время на Марсе быстрее примерно на 5,6 частей на миллиард по сравнению с Землей, но это в основном из-за того, что орбита Земли находится ближе к Солнцу .

Сравните это примерно с ~430 парами на миллиард (половина ppm) для солнечного зонда Parker, когда он приближается к Солнцу!

Это типичные значения, и они не предназначены для точного отображения количества знаков после запятой, потому что и Земля, и Марс движутся по эллиптическим орбитам, и поэтому каждая из них меняется со временем по-разному. Я переписал уравнения в этом ответе , включив уравнение vis-viva для более удобной формы, показанной ниже, но было бы лучше использовать правильные векторы состояния.

edit: Как будет измеряться эта разница частот?

Одним из способов было бы установить на каждой планете сверхстабильные часы, которые каждую секунду излучали бы один импульс (по местному времени), который запускал бы лазер в космос. Корабль мог рассчитать разницу между ними с учетом светового времени, необходимого для лазера. По подсчетам OP через год разница составит около 0,17 секунды.

Однако, если вы начнете самостоятельно проверять каждые часы и сравнивать их со своими портативными сверхстабильными часами, проблема становится намного более сложной для решения, и я не могу с уверенностью объяснить... ладно, абсолютно. не в состоянии объяснить даже немного. ;-)