Каковы хорошие непараксиальные решения уравнения Гельмгольца, подобные гауссову пучку?

Самый чистый способ сделать это — использовать так называемые сложные поля фокуса, которые строятся с использованием небольшого набора простых (хотя и неочевидных) ключевых идей:

• Основным компонентом является многополярное решение уравнения Гельмгольца,

  $$\Lambda_{l,m}(\mathbf r) = 4\pi i^l \: j_l(kr)Y_{lm}(\theta,\phi),$$ где$j_l(kr)$является сферической функцией Бесселя и$Y_{lm}(\theta,\phi)$является сферической гармоникой и удовлетворяет условию$(\nabla^2+k^2)\Lambda=0$.

  В декартовых координатах$\mathbf r=(x,y,z)$, это выглядит несколько пугающе, т.к.$\theta$и$\phi$являются разрывными функциями и$j_l(kr)$имеет квадратный корень, но мы также знаем, что$j_l(kr)\sim r^l$раз сходящийся ряд в$r^2$, и если этот множитель включить в сферическую гармонику, мы получим сплошную сферическую гармонику $S_{lm}(\mathbf r) = r^l \: Y_{lm}(\theta,\phi)$, который является однородным полиномом степени$l$в$x,y,z$.

  ... все это многословный способ сказать, что$\Lambda_{l,m}(\mathbf r)$не просто непрерывная функция$x,y,z$, но на самом деле это целая функция.

• Второй ключевой ингредиент использует тот факт, что$\Lambda_{l,m}(\mathbf r)$является целым, и смещая$z$координировать воображаемым смещением, чтобы$\Lambda_{l,m}(\mathbf r-i\zeta\hat{\mathbf{e}}_z)$, что не влияет на уравнение Гельмгольца$(\nabla^2+k^2)\Lambda=0$.

  Как$\zeta$увеличивается, решения переходят от сферически-волнового характера, а их угловой спектр все больше концентрируется на прямо распространяющихся волнах. В большом$k\zeta$пределе решения сначала становятся остро сфокусированными непараксиальными лучами, а затем они расфокусируются, приближаясь к распространяющимся пучкам в параксиальном пределе. Точнее,

  • монополярный раствор$\Lambda_{0,0}(\mathbf r-i\zeta\hat{\mathbf{e}}_z)$приближается к гауссову лучу, и
  • «экстремальные» случаи$\Lambda_{l,\pm l}(\mathbf r-i\zeta\hat{\mathbf{e}}_z)$с ненулевым угловым моментом приближаются к (основным) пучкам Лагерра-Гаусса без радиальных узлов.
  • (Средние случаи,$\Lambda_{l,m}(\mathbf r-i\zeta\hat{\mathbf{e}}_z)$с$|m|<l$, становятся сложными стоячими смесями волн различных направлений.)

• Наконец, для получения подходящих векторных решений (в отличие от скалярных$\Lambda_{l,m}$), которые удовлетворяют условию трансверсальности$\nabla\cdot\mathbf E=0$в дополнение к уравнению Гельмгольца можно использовать подходящие дифференциальные операторы (хорошими примерами являются$\mathbf V_{\mathbf p} f(\mathbf r) = \tfrac{1}{ik} \nabla \times (\mathbf p f(\mathbf r))$и$\mathbf V_{\mathbf p} f(\mathbf r) = -\tfrac{1}{k^2} \nabla \times \left(\nabla \times (\mathbf p f(\mathbf r))\right)$), которые включают одиночные производные и как таковые не влияют на уравнение Гельмгольца.

Хорошим справочником, который углубляется в эти области, является

• Скалярные и электромагнитные непараксиальные базисы, составленные как суперпозиции простых вихревых полей со сложными фокусами. Р. Гутьеррес-Куэвас и М.А. Алонсо. Опц. Экспресс 25 , 14856 (2017) .

и мое собственное использование находится в

• Оптические поляризационные скирмионные поля в свободном пространстве. Р. Гутьеррес-Куэвас и Э. Писанти. Дж. опт. 23 , 024004 (2021) , архив: 2101.09254 .

Моя реализация на Mathematica доступна в виде ComplexFocusпакета на GitHub по адресу github.com/ComplexFocus/ComplexFocus .

Я бы подумал, что вторая часть моей старой работы,

Эффективный нагрев тонких цилиндрических мишеней широкими электромагнитными пучками I. Андрей Ахметели. arXiv: физика/0405091 (2004).

содержит именно то, что вам нужно: относительно простое точное решение свободных уравнений Максвелла, которое асимптотически аппроксимируется гауссовым лучом в пределе$\delta/\lambda\rightarrow\infty$, где$\delta$- размер перетяжки гауссова луча и$\lambda$это длина волны.

Решение выражается через потенциалы Герца (см. формулы 1-6, 21-22). Решение написано для гауссова луча с круговой поляризацией, но нетрудно изменить решение, чтобы получить пучок с линейной поляризацией.

Это решение имеет вид одного одномерного интеграла, который необходимо интегрировать численно (поскольку Mathematica не может интегрировать его символически). В статье потенциалы Герца представлены в виде интеграла; если вам нужны поля напрямую, вы должны символически взять производные в двойном завитке перед численным интегрированием, и вы должны быть осторожны, чтобы использовать формулы для производных функций Бесселя, которые не вызывают потери точности (так что вы не вычисляете разность двух функций, мало отличающихся в окрестности нуля).

Числовой интеграл является колебательным, но вам решать, является ли он «сильно колебательным». Вы можете вычислить его, используя быстрое преобразование Фурье или быстрое преобразование Ганкеля (преобразование Фурье-Бесселя), в зависимости от того, нужны ли вам значения вдоль линии, параллельной оси луча, или по радиусу.

Вы ищете локализованное точное решение уравнения Клейна-Гордона:

$$(-\partial_t^2 + \partial_x^2 + \partial_y^2+ \partial_z^2) \phi(t,x,y,z)=0$$

Как показано в недавней статье , можно использовать координаты светового конуса Дирака.

$$x^\pm=\frac{1}{\sqrt{2}}(z \pm ct)$$ где точная форма волнового уравнения определяется выражением $$(-2 c^2 \partial_{+}\partial_{-}+\partial_x^2 + \partial_y^2)\phi(x^-,x^+,x,y)=0$$ где $$\partial_\pm=\frac{\partial}{\partial x^\pm},\partial_x=\frac{\partial}{\partial x}, \partial_y = \frac{\partial}{\partial y}.$$ Теперь рассмотрим преобразование Фурье вдоль оси x^-: $$\phi=\int d\omega e^{i \omega x^-} \tilde{\phi}(\omega,x^+,x,y)$$ .

Тогда в единице$c=1$, волновое уравнение упрощается до:

$$(-2 \partial_{+}\partial_{-}+\partial_x^2 + \partial_y^2)\int d\omega e^{i \omega x^-} \tilde{\phi}(\omega,x^+,x,y)=0$$

$$\updownarrow$$ $$\int d\omega e^{i \omega x^-}(-2 i \omega \partial_+ + \partial_x^2 + \partial_y^2) \tilde{\phi}(\omega,x^+,x,y)=0$$ $$\updownarrow$$ $$(-2 i \omega \partial_+ + \partial_x^2 + \partial_y^2) \tilde{\phi}(\omega,x^+,x,y)=0$$ которое представляет собой уравнение Гельмгольца. В отличие от обычного параксиального приближения, в координатах светового конуса Дирака не используется никакое приближение.

Итак, возьмите любое известное решение параксиального приближения, например, моды Эрмита-Гуаса, измените t на x^+, и вы получите точную моду.