Мы знаем, что калибровочная теория перенормируема благодаря тождеству Уорда-Такахаши (для неабелевой теории это тождество Славнова-Тейлора), которое отражает сохраняющийся ток калибровочной симметрии.
Но локальная (калибровочная) симметрия не является настоящей «симметрией», поскольку она не может привести к физическому сохраняющемуся току. Когда калибровочная группа неабелева, локальная калибровочная инвариантность может привести либо к калибровочно-инвариантному, но несохраняющемуся току, либо к калибровочно-зависимому, но сохраняющемуся току (для группы эти два тока совпадают). Но глобальная симметрия приводит к физическому (глобальному) инвариантному сохраняющемуся току (для неабелевой группы преобразование калибровочного поля при глобальном преобразовании тоже), и это может привести к соответствующему тождеству Уорда-Такахаши.
Теперь вот мой вопрос: если калибровочная теория глобальна, но не локальна, является ли она перенормируемой? В частности, если в лагранжиане СМ заменить ковариантный дифференциал Хиггса к обыкновенному дифференциалу , перенормируема ли теория? Если изменение выполнено, то член взаимодействия Юкавы разрушает локальное симметрии, но сохраняет глобальную.
Калибровочная инвариантность всегда является локальной симметрией. В этом смысле калибровочную симметрию и локальную симметрию можно считать синонимами. Таким образом, глобальной калибровочной симметрии не существует. Локальная (калибровочная) симметрия является реальной симметрией, поскольку калибровочные преобразования оставляют лагранжиан инвариантным. Для него также можно вывести сохраняющийся ток (ток Нётера), но для этого нужно использовать небольшую хитрость*. Можно преобразовывать только калибровочное поле, а не фермионные поля. Результирующий сохраняющийся ток затем выражается через фермионные поля. Итак, можно видеть, что во взаимодействующей калибровочной теории калибровочное поле связано с этим сохраняющимся током.
Итак, если бы вы изменили локальную калибровочную симметрию на глобальную симметрию, у вас больше не было бы взаимодействий, потому что калибровочные производные, содержащие взаимодействие, исчезли бы. Получившаяся в результате теория разделилась бы на две теории свободного поля: одну для калибровочного поля, а другую для фермионных полей. Каждое из них было бы тривиально перенормируемым, поскольку взаимодействий нет.
* См., например: М. Е. Пескин и Д. В. Шредер, Введение в квантовую теорию поля, Эддисон Уэсли (1995), глава 9.
пользователь108787