Калибровочно инвариантна теория Максвелла на нетривиальных многообразиях?

Я изучил свою долю КТП, но как человек, занимающийся в основном конденсированными средами, я не знаком с каким-либо обсуждением того, как калибровочная инвариантность теории Максвелла может зависеть от многообразия, на котором она определена. Я предполагаю, что это где-то обсуждалось, но я не могу найти внятных обсуждений в Интернете.

Мой вопрос следующий: мы знаем, что лагранжиан Максвелла с источниками

л М "=" − 1 4 Ф мю ν Ф мю ν − А мю Дж мю

Полученные уравнения движения, конечно,

∂ мю Ф мю ν "=" Дж ν ⇒ ∂ ν Дж ν "=" 0

Калибровочное преобразование А мю → А мю + ∂ мю Λ , напряженность поля инвариантна, поэтому имеем

л М ′ "=" л М − ( ∂ мю Λ ) Дж мю "=" л М − ∂ мю ( Λ Дж мю )

Обычная история состоит в том, что это полная производная, поэтому нам не нужно беспокоиться об этом, если граничные члены хорошо ведут себя на бесконечности. Но что, если мы определим нашу теорию, скажем, на сфере конечной протяженности? Тогда что происходит? Кажется, что эту историю нужно изменить, так как обсуждение калибровочной инвариантности в теории Черна-Саймонса становится несколько деликатным. Может ли кто-нибудь указать мне на ссылку, обсуждающую это, или, возможно, сказать, что не так с моей логикой? Я никогда не слышал обсуждения этого пункта, который кажется мне странным.

Связано: physics.stackexchange.com/q/175047/2451 и ссылки в нем.
@Qmechanic - извините, там обсуждается калибровочная инвариантность? Я этого не вижу.
@mflynn Я думаю, что Qmechanic имел в виду «правило запятой ставится в точку с запятой», которое в основном говорит, что если вы преобразуете все частные производные в плоском уравнении пространства-времени (или теории) в ковариантные производные (используя связь Леви-Чивита), то уравнение (или теория) обобщается на произвольное пространство-время. Теория Максвелла, обобщенная на произвольное пространство-время, обсуждается по ссылкам, предоставленным Qmechanic. Использование дифференциальных форм А → А + г Λ поскольку калибровка делает обобщение еще более непосредственным...
@AlexNelson Правильно, я знаком с этой историей. Я, конечно, согласен, что это работает для теории без исходников. Но я не понимаю, как превращение производных в ковариантные производные «впитывает» граничные условия, поступающие из источников; Меня меньше волнует, как геометрия влияет на динамику, чем то, как мы можем оправдать отказ от граничных членов.
@mflynn О, извините, моя ошибка. Не правда ли, мы действительно работаем с подынтегральной функцией действия, которая включает множитель | г | ? Тогда можно использовать интегрирование по частям и тождество ∂ мю ( | г | Дж мю ) "=" | г | ∇ мю Дж мю ...Думаю, я давно не видел кровавых подробностей...
@AlexNelson Я считаю, что это правильно, я думаю, что термин, который происходит от калибровочного преобразования, становится полной производной. Но это также встречается в теории Черна-Саймонса (в этом случае вы получаете полную производную от калибровочных преобразований даже при отсутствии источников), и здесь вы должны быть очень осторожны, когда говорите, что теория калибровочно инвариантна. Если вы определяете его на нетривиальном многообразии, то он может больше не быть калибровочно-инвариантным, и это большая часть истории квантования уровня Черна-Саймонса в объяснении целочисленного квантового эффекта Холла.
Калибровочная инвариантность становится деликатной в теории Черна-Саймонса, когда вы хотите ее проквантовать. Тогда возникает калибровочная аномалия, и квантованная теория не инвариантна относительно глобальных калибровочных преобразований (ей нужны поправочные коэффициенты). Есть аналогичная проблема с теорией Максвелла, известная как эффект Ааронова-Бома .
@Conifold Большое спасибо за комментарий. Я знаком с эффектом Ахаранова-Бома в некоторых конкретных случаях, но мне нужно подумать об этом подробнее. Эффект Ахаранова-Бома все еще играет роль при отсутствии источников? Моя интуиция подсказывает, что это не так, но я хочу быть уверенным.
Технически все, что вам нужно, это нетривиальная топология. Источники создают это, удаляя точки, но цилиндры или торы имеют это без каких-либо источников. Пока у вас есть нестягиваемые петли в многообразии, обход их может создать нетривиальную голономию в калибровочной группе и, следовательно, калибровочную аномалию.

Ответы (2)

Максвелловская и даже произвольная теория Янга-Миллса калибровочно-инвариантна на всех многообразиях. М . Можно записать действие в явно геометрической форме как

С [ А ] "=" ∫ М т р ( Ф ∧ ⋆ Ф ) + т р ( А ∧ ⋆ Дж )
и Ф "=" г А + А ∧ А , так что нигде не нужно заменять обычные производные ковариантными производными (напомним, что внешняя производная г и клиновые продукты ∧ всегда должным образом ковариантны, потому что антисимметризация в их определении убивает симметричные члены, портящие ковариантность для обычной производной ∂ мю А ).

Теперь калибровочное преобразование А ↦ г А г − 1 + г − 1 г г , вызывая Ф ↦ г Ф г − 1 , поэтому кинетический член калибровочно-инвариантен, а член связи ведет себя как

А ∧ ⋆ Дж ↦ г А г − 1 ∧ г ⋆ Дж г − 1 + г − 1 г г ∧ ⋆ Дж
Письмо г − 1 г г "=" г х для г "=" опыт ⁡ ( х ) , мы остаемся с проверкой того, что
∫ М г х ∧ ⋆ Дж "=" ∫ М г ( х ∧ ⋆ Дж ) − ∫ М х ∧ г ⋆ Дж
исчезает, что на самом деле и происходит: первое слагаемое обращается в нуль по теореме Стокса и тому факту, что многообразия не имеют границ, второе — потому, что сохраняющийся ток имеет исчезающую дивергенцию, и г ⋆ Дж это просто расхождение тока.

Нетривиальная топология многообразия может иметь интересные эффекты (например, эффект Ааронова-Бома), но никогда не нарушает калибровочную инвариантность.

Я вижу сейчас! Большое спасибо! Я не увидел, что нас спасла теорема Стокса. Это имеет большой смысл — я знаю, что мы обычно не беспокоимся о части калибровочного преобразования, которая исходит из источников теории Черна-Саймонса, и это также объясняет это. Очень хорошо!

Очевидным обобщением искривленного пространства-времени является Ф мю ν "=" ∇ мю А ν − ∇ ν А мю , но в теории без кручения, такой как общая теория относительности, символы Кристоффеля сокращаются, давая обычную формулу с ∂ и, следовательно, обычная калибровочная инвариантность. Обратите внимание, что если преобразование влияет дельта С "=" ∫ г н Икс ∂ мю В мю в н -мерное пространство Минковского, то в общем случае мера интегрирования умножается на | г | и заменяет ∂ с ∇ , давая

дельта С "=" ∫ г н Икс | г | ∇ мю В мю "=" ∫ г н Икс ∂ мю ( | г | В мю ) ,
которая по-прежнему является интегралом от полной производной.

Да, это было для меня ясно - я беспокоился о том, чтобы граничный член не обращался в нуль для многообразия с конечной пространственной протяженностью. Ответ выше касался этой проблемы для меня.
Хотя теория остается калибровочно-инвариантной, в пространствах с нетривиальной топологией возникают неожиданные эффекты. Рассмотрим ситуацию, изображенную на обложке книги Теодора Франкеля «Геометрия физики»: пространство представляет собой куб с периодическими граничными условиями. По проводу течет постоянный ток от центра нижней грани к центру верхней (и так обратно через нижнюю грань). Ток не зависит от времени, но в этом топологическом нетривиальном пространстве не существует решений уравнений Максвелла, не зависящих от времени.
Калибровочно инвариантна теория Максвелла на нетривиальных многообразиях?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v